Question

求下列各函数图形的凹凸区间及拐点

求下列各函数图形的凹凸区间及拐点 1)y=x^2e^-x 2)y=ln(x^2+1)

Answer 1

求下列各函数图形的凹凸区间及拐点
1)y=x^2e^-x
y'=2x*e^(-x)+x^2*e^(-x)*(-1)=(2x-x^2)*e^(-x)
y''=(2-2x)*e^(-x)+(2x-x^2)*e^(-x)*(-1)
=(2-2x-2x+x^2)*e^(-x)
=(x^2-4x+2)*e^(-x)
则，当y''=0时有：x^2-4x+2=0
解得：x=2±√2
当x＞2+√2，或者x＜2-√2时，y''＞0，图像下凹；
当2-√2＜x＜2+√2时，y''＜0，图像上凸.
所以，在x=2±√3时，函数点为拐点.
2)y=ln(x^2+1)
y'=2x/(x^2+1)
y''=[2(x^2+1)-2x*2x]/(x^2+1)^2=(2-2x^2)/(x^2+1)^2
则，当y''=0时有：2-2x^2=0
解得，x=±1
当x＞1，或者x＜-1时，y''＜0，图像上凸；
当-1＜x＜1时，y''＞0，图像下凹.
所以，图像有两个拐点(1,ln2)和(-1,ln2).