Question

已知函数f（x）=lg（x2+ax+b）的定义域为A，g(x)=kx2+4x+k...

已知函数f（x）=lg（x2+ax+b）的定义域为A，g(x)=kx2+4x+k+3的定义域为B．若（CRA）∩B=B，（CRA）∪B={x|-2≤x≤3}． （1）求集合A以及实数a，b的值； （2）求实数k的范围．

Answer 1

解：（1）∵（CRA）∩B=B，（CRA）∪B={x|-2≤x≤3}，
∴CRA={x|-2≤x≤3}，
∴A={x|x＞3或x＜-2}，
∵函数f（x）=lg（x2+ax+b）的定义域为A，
∴不等式x2+ax+b＞0的解集为{x|x＞3或x＜-2}，
∴a=-1，b=-6；
（2）∵g(x)=kx2+4x+k+3的定义域为B，
∴不等式kx2+4x+k+3≥0的解集为B，
又∵（CRA）∩B=B，（CRA）∪B={x|-2≤x≤3}，
∴不等式kx2+4x+k+3≥0的解集是集合{x|-2≤x≤3}的非空子集，
∴k＜0△=16-4k(k+3)≥0-2≤-2k≤3f(-2)=4k-8+k+3≤0f(3)=9k+12+k+3≤0，解得-4≤k≤-32
∴实数k的范围为-4≤k≤-32．