Question

分段函数的实际应用

Answer 1

分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。由于分段函数概念过广课本无法用文字明确给出分段函数的定义，故以更的实际例题的形式出现。但不少理解能力较弱的学生仍对它认识肤浅模糊，以致学生解题常常出错。本段介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考。

作图题

例1作出函数的图像。

分析：(根据北师大版32页例题2)

函数去绝对值符号后就变为分段函数

f(x)=|x+1|+|x-1| =

这个分段函数有三段，所以这个函数的图像应由三条线组成，其中两边各是一条射线，中间是一条线段。

分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

求函数值

例2　已知函数f(x)= 求f(3)的值。

解：由3∈（－∞，6），知f(3)=f(3+2)=f(5),

又5∈（－∞，6）,所以f(5)=f(5+2)=f(7).

又由7∈[6，+∞）所以f(7)=7－2=5，因此，f(3)=5。

求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。

求函数值域

例3　求函数f(x)= 的值域。

解：当-2≤x≤a时，x2 的取值有三种情形：

（1）当-2≤a<0时,有a2≤x2≤4 ；

(2)当0≤a≤2时,有0≤x2≤4 ；

(3)当a>2时,有0≤x2≤a2

当x>a时，-|x|的取值有两种情形：

（1）当-2≤a<0时，有-|x|≤0,

（2）当a≥0时，有－|x|<-a 。

所以原函数的值域为：

（1）当-2≤a<0时,为(-∞,0]∪[a2,4] ；

（2）当0≤a≤2时,为(-∞,-a)∪[0,4]；

（3）当a>2时,为(-∞,-a)∪[0,a2]

求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。

函数的奇偶性

例4 判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)= （2）f(x)=

解：（1）∵当x>0时，-x<0, f(x)=ex ,f(-x)=-e-(-x) =-ex ,

即有f(x)=-f(-x),同理，当x<0时，也有f(x)=-f(-x)

∴函数f(x）是奇函数。

(2)∵当x=0时，f(0)=f(-0)=0 ,

当x>0时，-x<0,f(x)=x(1-x) ,f(-x)=-(-x)[1+(-x)]=x(1-x) ,

即有f(x)=f(-x),同理，当x<0时，也有f(x)=f(-x).

∴函数f(x）是偶函数。

判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。

函数的单调性

例5 讨论函数f(x)= 的单调性。

解：当x≥0时，f(x)=-x2+4x-10 ,它是开口向下，对称轴为x=2的抛物线的一部分，因此f(x)在区间[0，2]上是增加的，在区间(2,+∞)上是减少的；当x<0时，f(x)=-x2-4x-10 ，它是开口向下，对称轴为x=-2的抛物线的一部分，因此f(x)在区间[-2，0）上是减少的，在区间(-∞,-2)上是增加的。

分段函数的单调性的判断方法：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即可。

求函数的最小正周期

求分段函数的最小正周期的方法有：定义法、公式法和作图法。

例6 求函数f(x)= 的最小正周期。

定义法：当x=2kπ或2kπ+π时，sin(2kπ+π)=sin2kπ=0

当2kπ-π<x<2kπ时,2kπ<x+π<2kπ+π,k∈z

f(x)=-sinx ,f(x+π)=sin(x+π)=-sinx ,

即有f(x+π)=f(x) ，同理可证：当2kπ<x<2kπ+π （k∈z）时，

有f(x+π)=f(x) ，所以f(x) 的最小正周期是π。

公式法：∵（2kπ-π，2kπ）∪[2kπ，2kπ+π]=R ， （k∈z）

x∈（2kπ-π，2kπ）,sinx<0 ,x∈[2kπ，2kπ+π],sinx ≥0 .

∴f(x)=|sinx|= =

所以f(x) 的最小正周期T= =π

作图法:作出函数f(x)的图像如图2

所示。

由图2知f(x) 的最小正周期是π。 图2

求函数的最大（小）值

求函数的最大（小）值的方法有：

数形结合法、分析综合法。

例7 求函数f(x)= 的最大和最小值。

解：∵函数f(x)=log2 x 在[1,8]是增加的，最大值是f(8)=3,

最小值是f(1)=0。又∵函数f(x)=x+2 在[-8,1)是增加的，最小值是f(-8)=-6且f(x)<3。

∴综上，得函数f(x) 的最大值是3 ，最小值是-6。