Question

已知函数f（x）=2lnx-x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的...

已知函数f（x）=2lnx-x2+ax（a∈R）． （Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程； （Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-ax+m在[1e，e]上有两个零点，求实数m的取值范围； （Ⅲ）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：f′（x1+x22）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数）．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2lnx-x2+2x，f′(x)=2x-2x+2，切点坐标为（1，1），
切线的斜率k=f′（1）=2，
∴切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1．
（Ⅱ）g（x）=2lnx-x2+m，则g′(x)=2x-2x=-2(x+1)(x-1)x，
∵x∈[1e，e]，故g′（x）=0时，x=1．
当1e＜x＜1时，g′（x）＞0；当1＜x＜e时，g′（x）＜0．
故g（x）在x=1处取得极大值g（1）=m-1．
又g(1e)=m-2-1e2，g（e）=m+2-e2，
g(e)-g(1e)=4-e2+1e2＜0，∴g(e)＜g(1e)，
∴g（x）在[1e，e]上的最小值是g（e）．
g（x）在[1e，e]上有两个零点的条件是g(1)=m-1＞0g(1e)=m-2-1e2≤0
解得1＜m≤2+1e2，
∴实数m的取值范围是(1，2+1e2]．
（Ⅲ）∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），
∴方程2lnx-x2+ax=0的两个根为x1，x2，则2lnx1-x21+ax1=02lnx2-x22+ax2=0
两式相减得a=(x1+x2)-2(lnx1-lnx2)x1-x2．
又f（x）=2lnx-x2+ax，f′(x)=2x-2x+a，
则f′(x1+x22)=4x1+x2-(x1+x2)+a=4x1+x2-2(lnx1-lnx2)x1-x2．
下证4x1+x2-2(lnx1-lnx2)x1-x2＜0（*），即证明2(x2-x1)x1+x2+lnx1x2＜0，
令t=x1x2，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，
即证明u(t)=2(1-t)t+1+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立．
∵u′(t)=-2(t+1)-2(1-t)(t+1)2+1t=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2，
又0＜t＜1，
∴u′（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知2(x2-x1)x1+x2+lnx1x2＜0，
故（*）式＜0，即f′(x1+x22)＜0成立．