Question

已知lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3=0, 求 lim x→0 [6+f(x)]/x^2?

为什么不可以这样解 因为lim x→0 [sin6x/(6x)]=1 所以， lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3 =lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3 =lim x→0 [6+f(x)]/x^2 =0 这哪里错了?

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

lim
x→0
[sin6x+xf(x)]/x^3
=lim
x→0
[6x+xf(x)]/x^3
你的这一步是错误的，等价无穷小的替换原则只能是因式乘积时候才可以。举个简单例子
lim
x→0
[sinx-x]/x^3，如果按照你的那种做法，显然结果是0。实际上答案是-1/6.
此处应用的是一个很重要的公式--泰勒公式(只展开有限项目，后边的高阶项可视为高阶无穷小)
sinx=x-1/6*x^3.
回到你的这道题，
lim
[sin6x+xf(x)]/x^3=0
也就是
lim[6x-1/6*(6x)^3+xf(x)]/x^3=0
后边可以自己做了吧?希望你能理解等价无穷小的
使用。