Question

二次不等式怎么判定是否是空集？详细问题请看“问题描述”

1.如图一所示，是否只要最终结果＜0就是空集？

2.假如＜0就属于空集，为什么图二x≤-2不是空集呢？

3.有更直观的方法判断二次不等式是否解集为R还是空集？

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Answer 1

一元二次方程，一元二次不等式，二次函数，它们之间有着千丝万缕的关系。一元二次方程的判别式小于零，二次函数的图象与x轴无交点。二次函数的图象，开口方向向上，与x轴无交点，说明二次函数的函数值全部大于零，若其对应的一元二次不等式小于零，其解集为空集。这是三者关系的简单描述，具体见相关图表。
第二张图，是第一题的变形，知道一元二次不等式的解集为空集，让你反求参数a的取值范围。首先得对二次项系数分类讨论，若a为零，就转化为一元一次不等式了，其解集不为空集，说明a=0与题干矛盾，故应舍去，即a≠0，此时就是一元二次不等式了，其解集为空集，等价于二次函数开口方向向上，其函数图象与x轴与交点(在x轴的上方)，其对应一元二次方程的判别式△<0。

Answer 2

首先看它是一元二次方程（a≠0）还是一元一次方程（a=0）
一次方程很简单，即2x+4≤0，x≤-2
如果是一元二次方程，则牵扯到a的正负。
a＞0，开口向上；a<0,开口向下
开口向上≤0上为空集，也就是说a＞0，△<0，这样它就与x轴无交点，都在x轴上方。
开口向下≤0，怎么都会有≤0的结果，所以开口只能向上。故a＞0，△<0 ，得出答案a＞1/4

追问

恕我愚笨，我更想知道为什么 x≤-2 不是 空集

问题2. 当图二中a＝0时，x等于多少才算成立？

问题3. 当a=0成立时，△＜0是否应该变成△≤0呢？

追答

a=0时。就与△没关系了，因为它就成了一元一次方程

x≤-2包括在x≤0当中，所以不符

Answer 3

答：1、x<0, 无解，解集为空集；x=Φ。
2、x<=2,解集为x<=-2, 解集为x<=-2, 解集为（-∞，2]，不为空集，解集为R。
3、如果2、的条件下，ax^2+2x+4<=0, 无解集，为空集。
当无解时，为空集。有解集，哪怕是一个解，甚至=0，也不是空集。

追问

不好意思，恕我愚笨，想再请教一些细节

答：1、x<0, 无解，解集为空集；x=Φ。
2、x<=2,解集为x<=-2, 解集为x<=-2, 解集为（-∞，2]，不为空集，解集为R。
3、如果2、的条件下，ax^2+2x+4<=0, 无解集，为空集。
当无解时，为空集。有解集，哪怕是一个解，甚至=0，也不是空集。

1.x<0, 无解，解集为空集；x=Φ。
2.x<=2,解集为x<=-2, 解集为x<=-2, 解集为（-∞，2]，不为空集，解集为R。
3.如果2、的条件下，ax^2+2x+4<=0, 无解集，为空集。
当无解时，为空集。有解集，哪怕是一个解，甚至=0，也不是空集。

您的答案中

问题2.x≤-2，用区间表示不应该是（-∞，-2］吗？

假如图二想要a＝0成立

那a应该等于多少

或者说，假如算出多少他才是对的？是成立的

追答

a>1/4; 指练习3。练习2是正确的。

Answer 4

1.否，b^2-4ac<0时才是空集
2.因为x=0时，这个不等式就变成了一元一次不等式，根据一元一次方程的图像可以发现一定会有小于0的部分，也就是图像在x轴以下的部分
3.可以结合一元二次图像来判断
可以自己画一下，分情况讨论，可以追问

Answer 5

所谓空集，就是找不到一个交点坐标能够使得方程有意义