Question

已知实数xyz满足x²+y²+z²=5，则xy+yz+zx的最大值和最小值是多少

已知实数xyz满足x²+y²+z²=5，则xy+yz+zx的最大值是多少最小值是多少

Answer 1

-(x²+y²)≤2xy≤x²+y²(取等最小x=-y,最大x=y)
-(y²+z²)≤2yz≤y²+z²(最小y=-z,最大x=y)
-(x²+z²)≤2xz≤x²+z²(最小x=-z,最大x=z)
三式相加-(x²+y²+z²)≤xy+yz+zx≤x²+y²+z²
注意取等为最小取不到等，。。最大取等为x=y=z=√（5/3）
现考虑怎么求最小```
xy+yz+zx=[(x+y+z)²-(x²+y²+z²)]/2=[(x+y+z)²-5]/2
当x+y+z=0取最小..
联立x²+y²+z²=5
随便取一组x=0,y=-z=√10/2
所以最小为-5/2