Question

已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)·f(b),且当x>0时,f(x)>1恒成立

（1）求f（0）
（2）证明f(x)>0
（2）证明函数f（x）在R上是增函数

Answer 1

1. 令a=b=0，则有f(0)=f(0)*f(0)，f(0)=0或f(0)=1；当x>0时，f(x)>1>0，而f(1)=f(1+0)=f(1)*f(0)>1>0，所以有f(0)>0，故f(0)=1

2. 对于任意x>0，都有f(x)>1>0，∴f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)>0，∴f(-x)>0，而-x<0，即对于任意x∈R，都有f(x)>0

3. 设a，b>0，则有a+b>0，f(a)>1，f(b)>1，f(a+b)=f(a)*f(b)>1，即f(a+b)/f(a)=f(b)>1，所以f(a+b)>f(a)，又f(a)>1=f(0)，∴x≥0时，f(x)为增函数；剩下的不知如何证了