Question

为什么可偏导要求极限存在而可微却要求极限为零

Answer 1

一元函数：可导必然连续，连续推不出可导，可导与可微等价。
多元函数：可偏导与连续之间没有联系，也就是说可偏导推不出连续，连续推不出可偏导。
多元函数中可微必可偏导，可微必连续，可偏导推不出可微，但若一阶偏导具有连续性则可推出可微。

可导条件

如果一个函数的 定义域为全体 实数，即 函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。 函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个 充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来。

注意：可导的函数一定 连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

一元函数：可导必然连续，连续推不出可导，可导与可微等价。

对于单元函数 可微和可导是相同的，但对于多元函数则不一样，多元函数中各个偏导函数连续才能推出可微 ，多元函数可微则可以推出各偏导存在、各个方向的方向导数存在。

关于函数的可导导数和连续的关系：

1、连续的函数不一定可导。

2、可导的函数是连续的函数。

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

4、存在处处连续但处处不可导的函数。左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右。

扩展资料：

可导的话一定连续，但连续不一定可导。

证连续的一般方法是左极限=右极限，所以如果极限存在的话一定连续，极限存在、连续都不能推出可导。

但反之能推出，证可导的方法除了定义还就是左导-右导；反证这反面的问题很复杂要不断整理才能明白。

多元函数：可偏导与连续之间没有联系，也就是说可偏导推不出连续，连续推不出可偏导。

多元函数中可微必可偏导，可微必连续，可偏导推不出可微，但若一阶偏导具有连续性则可推出可微。

Answer 2

因为可偏导的前提是这个极限要存在，如果这个极限不存在的话，怎么能要求它可导呢，这个具体你可以参考书上的推导过程的。