Question

一道高等数学极限问题。谢谢。

已知a>0,求下列极限。我洛必达出来不知道为啥要对a是否大于1/2进行讨论。求该题详细解答过程！！！

Answer 1

中间用到等价无穷小，希望帮助到你。

追问

请问大神，洛必达可以吗？我用洛必达答案对不上。。。。

Answer 2

lim{n->oo}(cos(1/n^a))^n
= lim{x->0+}e^[(1/x)lncosx^a], where x = 1/n
= lim{x->0+}e^[-ax^(a-1)sinx^a/cosx^a]
= lim{x->0+}e^[-ax^(a-1)x^a], since sinx^a ~ x^a
= lim{x->0+}e^[-ax^(2a-1)]
Case I: 2a-1 < 0 ==> a < 1/2, the limit = e^-oo = 0
Case II: 2a-1 = 0, ==> a = 1/2, the limit = e^(-a) = e^(-1/2)
Case III: 2a-1 > 0, ==> a > 1/2, the limit = e^0 = 1

Answer 3

a>0,n-->∞时
ln[cos(1/n^a)]/(1/n)
-->1/cos(1/n^a)*[-sin(1/n^a)]*[-a/n^(a+1)]/(-1/n^2)(洛必达法则)
-->-n^(1-2a),①
0<a<1/2时①-->-∞;
[cos(1/n^a)]^n

=e^{nln[cos(1/n^a)]}
-->0;
a=1/2时①-->-1,
[cos(1/n^a)]^n

=e^{nln[cos(1/n^a)]}
-->1/e;
a>1/2时①-->0,
[cos(1/n^a)]^n

=e^{nln[cos(1/n^a)]}
-->1.
可以吗？