Question

分段函数f(x)=x^2(0<=x<=1)，f(x)=2-x(1<x<=2)，则F(x)=积分(0,x)f(t)dt(0<=x<=2)，为什么答案是这样？

图一是题目，图二是参考答案，1<x<=2时的范围不是直接对应了f(x)=2-x吗，为什么F(x)在1<x<=2时还要加上0<=x<=1的积分？





Answer 1

f(x)

=x^2                 ; 0≤x≤1

=2-x                 ; 1<x≤2 

case 1:  0≤x≤1

F(x)

=∫(0->x) t^2 dt

=(1/3)x^3

case 2: 1<x≤2

F(x)

=∫(0->x) f(t) dt

=∫(0->1) f(t) dt  + ∫(1->x) f(t) dt

=∫(0->1) t^2 dt  + ∫(1->x) (2-t) dt

=1/3 + [2t -(1/2)t^2]|(1->x)

=1/3 + [(2x -(1/2)x^2 ) -(2- 1/2) ]

=-7/6 +2x - (1/2)x^2

ie

F(x)

=(1/3)x^3                                    ; 0≤x≤1

=-7/6 +2x - (1/2)x^2                  ; 1<x≤2

追问

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