Question

已知aXb + bXc + cxa = 0,求证：a、b、c三向量共面。

Answer 1

a、b、c三向量共面如下：

充分性：设存在三个非零实数l，m，n，使得la+mb+nc=0.不妨设l≠0；a＝（-m/l）b+（-n/l）c
a在b,c张成的平面内，a，b，c共面。

必要性：a，b，c是空间三个不共线，必有两个可以张成平面，例如a，b，可以取为坐标向量。a，b，c共面，c可以按a，b分解。即c＝ma+nb。ma+nb+（-1）c＝0-1≠0。

存在三个非零实数l，m，n；使得la+mb+nc=0。aXb+bXc+cXa=0；两边同时点乘c；(aXb)c+(bXc)c+(cXa)c=0。由于向量bXc的方向是与c垂直的，所以在点乘c的结果就是0。同理，(cXa)c也等于0；所以(aXb)c=0。说明a，b，c共面。

向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。

由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。

Answer 2

充分性：设存在三个非零实数l，m，n，使得la+mb+nc=0.不妨设l≠0
a＝（-m/l）b+（-n/l）c
a在b,c张成的平面内，a,b,c共面。
必要性：a，b，c是空间三个不共线，必有两个可以张成平面，例如a,b
.可以取为坐标向量。
a,b,c共面，c可以按a,b分解
即c＝ma+nb.
ma+nb+（-1）c＝0
-1≠0.
存在三个非零实数l，m，n，使得la+mb+nc=0.