Question

求反常积分∫（0到+∞）e^(-ax) *(sinx/x) dx （a＞0）

求反常积分∫（0到+∞）e^(-ax) *(sinx/x) dx （a＞0）

Answer 1

分享解法如下。设I(a)=∫(0,∞)[e^(-ax)](sinx/x)dx。显然，I(a)在a∈(0,∞)时连续、且I(0)=π/2。

由I(a)两边对a求导，∴I'(a)=-∫(0,∞)[e^(-ax)]sinxdx=-1/(1+a²)。∴I(a)=-arctana+C。
又，a=0时，C=π/2。∴原式=I(a)=π/2-arctana。