Question

常微分方程步骤求解

如图（10）到（11）步的求解过程 谢谢

Answer 1

省去v的下标。
dv=λv(1-v)dt,
分离变量得dv/[v(1-v)]=λdt,
即[1/v+1/(1-v)]dv=λdt,
积分得ln|v/(1-v)|=λt+lnc,
所以v/(1-v)=ce^(λt),
解得v=ce^(λt)/[1+ce^(λt)].,
把v(0)=v0代入上式得v0=c/(1+c),解得c=v0/(1-v0),
所以v=v0e^(λt)/[1-v0+v0e^(λt)].
可以吗？

Answer 2

dvt=λvt(1-vt) dt
∫dvt/[vt(1-vt)] =∫ λ dt
ln|vt/(1-vt)| =λt +C
vt(0) =v0

=> C =ln|v0/(1-v0)|
ie
ln|vt/(1-vt)| =λt + ln|v0/(1-v0)|
vt/(1-vt) = [v0/(1-v0)]. e^(λt)
(1-vt)/vt = [(1-v0)/v0]. e^(-λt)
1/vt -1 =[(1-v0)/v0]. e^(-λt)
1/vt = 1+[(1-v0)/v0]. e^(-λt)
vt
= 1/{ 1+[(1-v0)/v0]. e^(-λt) }
=vo. e^(-λt) / [v0. e^(-λt) -v0+1]