Question

三棱锥的外接球半径怎么求？

Answer 1

正三棱锥的外接球半径求法：

设A－BCD是正三棱锥，侧棱长为a,底面边长为b，则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上。

设高为AM，连接DM交BC于E，连接AE，然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三棱锥的高AM于O，则0就是外接球的球心，AO，DO是外接球的半径。

（当三棱锥的侧棱与它的对面所成的线面角小于90度时，即角DAE小于90度时，球心在棱锥的内部；当线面角等于90度时，球心恰好在底面正三角形的中心M上。

当线面角大于90度时，球心在棱锥的外部，在棱锥高AM的延长线。下面我给出的解法是第一种情况，球心在棱锥的内部。另两种情况你自己可以照理推出。）

设AO＝DO＝R

则，DM＝2/3DE＝2/3*2分之根号3倍的b=b/根号3

AM＝根号（a^2-b^2/3)

OM=AM-A0=根号（a^2-b^2/3)-R

由DO＾2＝OM＾2＋DM＾2得

R＝根号3倍的a^2÷2倍的根号（3a^2-b^2)

内切球半径用等体积法，连接内切球球心和棱锥各顶点分割成若干三棱锥，则每个三棱锥体积为1/3底面积×R，全棱锥体积为1/3全面积×R；外接球则先考查任一侧面的三点外心的法线；对于特殊棱锥考虑补形为长方体之类的。

扩展资料

三棱锥外接球又是主要的一种，主要是能补成长方体（包括正方体、正四棱锥）的三棱锥、侧棱与底面垂直的三棱锥、底面与底面垂直的三棱锥和正三棱锥。

 补形的类型有：

类型1：一个顶点上三条棱互相垂直，由以互相垂直的三条棱为长、宽、高补成一个长方体，此时长方体的对角线就是外接球直径。

类型2：三组对棱分别相等的三棱锥，此时以对棱为相对面的对角线补成一个长方体

类型3：两组对棱都相等的三棱锥，另一组对棱也相等的三棱锥，可补成正四棱柱

类型4：正四面体（即各棱都相等的三棱锥）。以棱长为正方体面的对角线补成正方体。