Question

英文的导数数学题，求步骤

Answer 1

英文的导数数学题的意思是

1、假设曲线y=f^(-1)(x)在（4,7）处的斜率为4/5，求f'(y)
2、如果f(x)=x³+x+1，求(f^(-1))'(3)的值
题一
解：因y=f^(-1)(x)=g(x)是 x=f(y) 的反函数，所以
dx/dy=f'(y)=1/g'(x)=1/(4/5)=5/4
题二
解：根据题意，x³+x+1=3，则x=1。又由于f'(x)=(x³+x+1)'=3x²+1，所以
(f^(-1))'(3)=1/f'(1)=1/(3×1²+1)=1/4。

Answer 2

两个题目都是基于函数及其逆函数的导数互为倒数
1） 这个题目时无法求得f'(y)的，只能求得f'(y)在y=7处的值，根据原函数和逆函数导数互为倒数知道，该值为5/4

2） 显然当x=1时f(x)=3
而f'(x)=3x^2+1， f'(1)=4, 所以逆函数在y=3处导数为1/4

Answer 3

第一问不太明白题目含义，只能求出：f（4）=1/7，f'（4）=-4/245。求f（y）的表达式以及f'（y）不知道如何下手。

（b）f（x）=x³+x+1，则：f^(-1)（x）=1/（x³+x+1）=（x³+x+1）^（-1）。

即：

于是：

Answer 4

题目a小问:假设曲线y=f¯¹(x)在(4,7)位置的斜率为4/5，求f'(y)
解之过程：(条件有点多余）
∵y=f¯¹(x),y'=dy/dx=(f¯¹)'(x)
∴x=f(y),f'(y)=dx/dy=1/[(f¯¹)'(x)]
b小问
∵f(x)=x³+x+1,f'(x)=3x²+1
∴ x=1,y=f(x)=f(1)=1³+1+1=3
∴f¯¹(3)=1
∴(f¯¹)'(3)=1/f'(1)=1/(3+1)=1/4

Answer 5

Here is a way to get the formula of the derivative of an inverse function:
f(f^-1(x)) = x
Take derivative by chain rule: f'(y) (f^-1(x))' = 1
a) Therefore, f'(y) = 1/(f^-1(x))' = 5/4
b) (f^-1(3))' = 1/f'(1) = 1/4, since f(1) = 3, and f'(x) = 3x^2+1