Question

怎样证明各个数位上的数相加之和能被3整除，这个数就能被3整除？

Answer 1

ab=9a+（a+b）， 9a能被3整除，若a+b能被3整除，ab就能被3整除。
例如：75→7+5→12→1+2→3， 75能被3整除.
abc=100a+10b+c=（99a+9b）+（a+b+c），同理若a+b+c能被3整除，abc就能被3整除
例如：678→（6是3的倍数舍弃）7+8→15→1+5→6，678能被3整除。
n位自然数同理都能证明：
各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。

Answer 2

假设正整数A有n位，各位数字为 a(n)、a(n-1) ..... a(2)、a(1)
则有：
A = SUM(a(n)*10^(k-1))，k=[1,n]，SUM表示括号内表达式n项的和
= SUM(a(n)*10^(k-1)-a(n)+a(n))
= SUM(a(n)*(99....9)+a(n))
其中99....9表示k-1个9，可以被3整除
因此：
A = SUM(a(n)*(99...9))+SUM(a(n))，k=[1,n]
因为，SUM(a(n)*(99...9)) 能被3整除，
所以，当 SUM(a(n)) 能被3整除时，A就能被3整除
也就是 A的各位数字之和为3的倍数是A能被3整除。

Answer 3

先看两位数字的,如数码ab组合
a+b为3的倍数
那么10*a+b=9a+(a+b)
9a能被3整除,a+b能被3整除,所以10*a+b能被3整除

再看三位数字的,如数码abc组合
a+b+c为3的倍数
那么100*a+10*b+c=99a+9b+(a+b+c)
99a,9b,(a+b+c)都能被3整除,所以100*a+10*b+c能被3整除

实际上,对于任何一个自然数a(1)a(2)a(3)a(4)....a(n)
如果a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)为3的倍数
那么
a(1)*10^(n-1)+a(2)*10^(n-2)+....+a(n-1)*10+a(n)
=a(1)*[10^(n-1)-1]+a(2)*[10^(n-2)-1]+...+a(n-1)*9+[a(1)+a(2)+...+a(n)]
中间的每一项.都能被3整除