二项分布
wiki: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E4%BD%88
假设实验A的结果有且仅有有0,1两种情况(如抛硬币,只有正反两种情况,其实这个例子也不严格,但是最为直观和接近的),为0的概率为 p ,那么为1的概率为1- p
,二项分布即表示进行多次实验A时,0,1的分布情况
这是维基百科中给出的 概率质量函数(就是在各随机变量取值的概率) ,解释下几个变量,假设要观察实验A的结果为1(或0)的概率,这个函数即为计算在 n 次实验中,结果为1的次数等于 k 的概率,其中 p 为单次实验中1发生的概率,其中(n/k)的是之前学的 排列组合 中的 组合
PS: f(k=1,2,3,...n) 的累加等于1,开始感觉不太能理解,不能和实际经验结合,后来想明白,进行 n 次实验,某指定的结果(例如1)出现次数只能是取值于 0,1,2,3....n ,每种次数对应的概率相加自然是1 ,通过简单的举例验证也可以得出这个结果,例如抛3次硬币,正常朝上可能出现的几种情况的对应的概率相加,即得1
在制造二项分布概率的参考表格时，通常表格中只填上n/2个值。这是因为k > n/2时的概率可以从它的补集计算出
此处的 值 是指,只需要在实验结果1或0任选一个, 填写其{ k | k =1,2,,3...n}的概率就可以,根据以上公式(较容易推导)即可计算出其补集的结果
这是二项分布的 累积分布函数 ( C umulative D istribution F unction)
开始比较疑惑为什么可以通过累加得到其CDF,但如果想通以上 概率质量函数 累加得1,这里应该也就想的通了
如果 X~B(n,p) ，那么 X 的期望值: E(X)=np
维基百科中给出的推导方式为：
但其实这个方式我感觉完全无法认同，因为 1 和 0 仅仅是我们主观的用于表示二项分布的两种结果的两种符号，我们完全可以用 1 和 -1 ,或者 1 和 1000 来表示，但取不同的值，算出来的期望并不相同，所以我感觉无法认同
下面是一种我可以理解的推导方式:
首先是两个 预备公式 :
PS:上面这个公式可自行验证
这个公式叫做二项式定理，用于计算 a+b 的 n 次方
假设实验结果为 1 的概率为 p ，实验结果为 0 的概率为 q=(1-p) ，得出二项分布的期望为:
根据上面第一个公式将期望公式转为:
再提取公共项:
最后 再根据二项式定理，得出: E(X)=np(p+q) n-1 ,因为 p+q =1 ,所以得出 E(X)=np
关于期望,方差,协方差的关系,可参考 http://blog.codinglabs.org/articles/basic-statistics-calculate.html
这篇文章中有一点我有一点纠结了很久,就是我中学曾经学过的方差计算方式是
而关于统计学中给出的都是
分析一下:
期望 E(x) 的计算，我们可以理解，这里我们假设它为 μ ,展开公式则可得:
和中学学过的公式相比较，缺少一个 1/n ,多了一个 p(x i ) ,其实这里的 1/n 就是 p(x i ) ,中学的这个公式的一个隐含条件是假设所有的数出现的概率相同，也就是 1/n
二项分布的方差为 Var(x)=np(1-p)
下面是关于方差的 证明 ：
方差的证明即是利用上述文章中说的 Var(x)=E(x 2 )-(E(x)) 2 证明在二项分布中 Var(x)=np(1-p)
预备公式：
预备公式证明:
方差公式证明:
通过 预备公式 换算，并 提取公共项 np 和 n(n-1)p 2 可得:
在根据 二项式定理 得:
整理得：
根据 期望 计算得 (E(x)) 2 =(np) 2 再代入 Var(x)=E(x 2 )-(E(x)) 2 ,得出 Var(x)=np+(np) 2 -np 2 -(np) 2 =np(1-p)
关于期望和方差的证明方法来自 https://wenku.baidu.com/view/7038047d31126edb6f1a107a.html ，并做了些修改
