Question

三角函数的和差化积公式推导过程

Answer 1

和差化积公式推导过程：
已知sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB，两式相加可得sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB。所以，sinAcosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2。同理，两式相减可得cosAsinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2。
同样的，已知cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB，cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB，两式相加可得cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB，所以，cosAcosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2。同理，两式相减可得sinAsinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2。
这样，就得到了积化和差的四个公式。
有了积化和差的四个公式以后，只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式，将上述四个公式中的A+B设为x，A-B设为y，那么A=(x+y)/2，B=(x-y)/2。
把A，B分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式：
1、sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)；
2、sinx-siny=2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)；
3、cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)；
4、cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)。