Question

三次根式可以参加运算吗？

Answer 1

  我们在学习了二次根式的同时，也学习了三次根式。三次根式是形如³√a的式子。我们了解到二次根式可以参加加、减、乘、除和乘方等五种运算。那么三次根式是否也可以参加这些运算呢？

我个人的猜想是认为可以的：

加、减法：我们先举一个特殊的例子来说明一下。

³√8+³√8=（1+1）³√8=2³√8=2×2=4

2³√8-³√8=（2-1）³√8=³√8=2

说明：加法：³√8+³√8=2+2=4

³√8+³√8=（1+1）³√8=2³√8=2×2=4

减法：2³√8-³√8 =4-2=2

2³√8-³√8=（2-1）³√8=1׳√8=1×2=2

在试过了几个例子之后，我现在初步得出了结论：

总结加减：x³√a+y³√a=(x +y)³√a

x³√a-y³√a=（x-y）³√a

所以，我认为，三次根式相加减，也和二次根式相同，先化简为最简三次根式，然后把同类的三次根式分别合并，合并方法与合并同类项方法相似。

乘、除法：也是先用特殊的例子来说明一下：³√8׳√27=³√（8×27）=³√216=6

³√216÷³√27=³√（216÷27）=³√8=2

证明：乘法：³√8׳√27=2×3=6

³√8׳√27=³√（8×27）=³√216=6

除法：³√（8×27）=³√216=6

³√216÷³√27=³√（216÷27）=³√8=2

经过上面的计算，我发现：³√8׳√27=³√(8×27)

³√216÷³√27=6÷3=2

³√216÷³√27=³√(216÷27)=³√8=2

经过上面的计算，我发现：³√216/³√27=³√(216/27)

那么前面的都是一些及其特殊的例子，下面我们需要用一些不特殊的例子来计算

³√6׳√7              ³√7÷³√6

证明：乘法：³√6׳√7 ≈1.81×1.91≈3.45

³√6׳√7=³√(6×7)=³√42≈3.47

除法：³√7÷³√6≈1.91÷1.81≈1.05

³√7÷³√6=³√（7÷6）≈1.05

从计算器的计算结果来看，答案是基本相似的。

光通过近似计算证明不出来，那么我们试着用代数式来证一下。

乘法：³√a׳√b=³√ab

设³√a=m,³√b=n

则m³=a,n³=b

m³n³=ab

³√m³n³=³√ab

mn=³√ab

³√a׳√b=³√ab

证实猜想成立

除法：³√a÷³√b=³√a/b（b≠0）

设³√a=m,³√b=n

则m³=a,n³=b

m³÷n³=a/b

³√m³/n³=³√a/b

m/n=³√a/b

³√a÷³√b=³√a/b

由此证明猜想成立

由此可得出,三次根式的乘法性质：³√a׳√b=³√ab

那么反过来³√ab=³√a׳√b

三次根式的乘法：三次根号不变，被开方数相乘。

三次根式的除法性质：

³√a/³√b=³√（a/b）（b≠0）

反过来是这样：³√（ab/）=³√a/³√b（b≠0）

三次根式的除法：三次根号不变，被开方数相除。

乘方运算：特殊：（³√8）³=8

（³√8）³ =2³=8

不特殊例子：（³√8）²=2²=4

那么根据上面的证明，我们就可以总结出

乘方：（³√a）³=a

一个三次根式的三次方的结果是被开方数。

所以，通过例举和证明，三次根式是可以参加加、减、乘、除和乘方运算的。