Question

高等代数理论基础27：矩阵的运算

Answer 1

定义：给定两个矩阵

,

称为A与B的和,记作

注：

1.矩阵的加法即矩阵对应元素相加,相加的矩阵必须为同型矩阵

2.同型矩阵：有相同的行数和列数的矩阵

3.

运算规律：

1.结合律：

2.交换律：

3.零矩阵：元素全为零的矩阵,记作 ,简记作

4.负矩阵： 称为矩阵A的负矩阵,记作

5.矩阵减法：

定义：设 , ,则 ,其中 称为A与B的乘积,记作

注：

1.矩阵A与B的乘积C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积的和

2.作乘积要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等

例：若 为一线性方程组的系数矩阵, , 分别是未知量和常数项所成的 和 矩阵,则线性方程组可写成矩阵形式

运算规律：

1.结合律：设 , , ,则

证明：

2.交换律不满足：一般,

3.消去律不满足：一般,

例：

,

乘法与加法运算规律：

定义：主对角线上的元素全是1,其余元素全是0的 矩阵 称为n级单位矩阵,记作 ,简记作

注： ,

定义：给定 矩阵A, ,

注：

1. 就是k个A连乘

2.方幂只能对方阵定义

一般,

定义：矩阵 称为矩阵 与数k的数量矩阵,记作

注：用数k乘矩阵即把矩阵的每个元素都乘k

运算规律：

1.

2.

3.

4.

5.

证明5：

定义：矩阵 称为数量矩阵

注：若A为一个 矩阵,则

数量矩阵与所有的 矩阵作乘法是可交换的,若一个n级矩阵与所有n级矩阵作乘法都是可交换的,则这个矩阵一定是数量矩阵

规律：

定义：给定 , 称为A的转置

注： 矩阵的转置是 矩阵

规律：

1.

2.

3.

4.

证明3：