Question

为什么数学如此难学？

Answer 1

数学是难的。有三个方面的原因。

第一：学习数学的中枢是人大脑的痛苦中枢。也就是说，感受针刺这样的疼痛与处理数字是同大脑的同一片区域。有人学数学就头痛。这导致了人对数学天生的逃避反应，越逃避，自然越难学。我见过业余练习书法的，学习跳舞的，学写诗的，却很少见到业余时间学习数学的。

第二：数学的领域很广泛。一般的人不知道从哪里开始入手。

第三：数学的符号混乱。这是本文主要要说的。因为数学体系内部的混乱，导致的难学。要学数学，必须理清楚各种混乱的符号是什么意思。如果没有接触过数学的人，看到那些符号，会惊叹：这是怎样的黑话呢？

混乱的数学符号之一：乘号与乘法

你问我，数学中一共有多少种乘法，我一定说不清楚。好像有数字的乘法，点乘，叉乘等等，大约还有卷积之类。只能佩服最早的数学家，是如此的偷懒。连一个新的运算符号都懒得去发明。把可怜的乘号不断的重载。

如果你还记得，小学的时候，学数学，乘号是用一个叉，类似 这样 3 ✗ 4 = 12 。当时有的老师要求很严格，不能随意交换被乘数和乘数。例如，上面的式子是计算“单价3元，4个东西的总价格”。如果“单价4元，3个东西”，一定要写成 4 ✗ 3 =12 。现在的老师不再这样严格的要求了。

到了初中，老师忽然让省略数字和字母之间的乘号，或者在两者之间打一个点，类似 3a 或者 3 ⋅ a 这样。到了高中，有一天，物理老师隆重推荐点乘和叉乘。从此，乘法的世界开始混乱了。他口中的向量、标量唬退了一大波的数学爱好者。

到了大学，接触了矩阵的乘法，毕业后，接触了四元数，才知道，有时候，乘法真的不能交换被乘数和乘数啊！于是，感谢起一年级的数学老师来，她太有先见之明了。

乘法记号的产生，本来是为了把加法写的紧凑。那是乘法最初的含义。随着历史的发展，乘号被不断的重载。

从最初的意义上讲，乘法中，乘数应该必然是整数，因为乘数是用来计数相同的加数个数的。为了简洁的书写加法，乘法才诞生的。

后来，有了除法。再后来，乘数就可以是分数了。

再后来，相同的数连乘，被紧凑的写成乘方。

后来，有了开方，以及开不尽的情况。无理数作为有理数的极限，诞生了。

于是，乘数顺理成章，可以是无理数。数的概念在扩张，乘法就随着扩张。乘号，就一直被重载。不但可以用来乘正数，还可以用来乘负数。负数乘负数的结果是一个正数，这个在当时是直觉下的硬性规定。没有人能解释清楚为什么。

上面一切的重载都很自然，基本没有什么不协调的地方。

当数变成复数以后，混乱发生了。而且发生在一瞬间。同时出现了三种乘法：复数可以和复数相乘，复数表示的向量可以进行点乘，向量还可以进行叉乘。如果不是如我这样的学霸，必然瞬间晕倒。

到底发生了什么？有时候打一个点，有时候画一个叉，有时候什么都不写，居然有三种不同的含义？表示向量的时候，在字母头上加一个箭头;表示共轭的时候，在头上加一条横线;绝对值符号表示复数的模我没有意见，可头上加横线，从前不是表示平均的吗？x拔怎么就变成了z的共轭。否定命题也是头上加横线。补集也是头上加横线。头上加横线怎么就这么受欢迎呢？

不用说，“共轭”两个字，又吓跑了一堆人。

乘号的混乱，究其原因，是数学家们固执于中缀表达式导致的结果。自从有了函数，大家完全都可以说人话了。假如这样写，如 lisp的 S 表达式一样：

(mul a b)
(cross a b)
(dot a b)

岂不是很好分别？

所有的符号写在前面，换成一个通俗易懂的函数名。
加法可以写成
(add a b)
甚至换成中文
(加 甲 乙)都是好懂的。

如果说，单纯用英文就够了，那么，为什么一定要用希腊字母呢？
一定要用的话
(Π a b)也可以表示乘法了。
(∑ a b)也可以表示加法了。

一方面，数学越来越抽象;一方面，书写越来越紧凑。数学符号都是数学家拍脑门临时想出来的，除了莱布尼兹会慎重考虑。你一定见过 ∑ 符号头上和脚底都写满东西的时候，这就是所谓的紧凑了。紧凑的好处是，对熟悉的人来说，一眼就看出来整个式子是某种模式在重复;紧凑的缺点就是，从来没有学习过的人，看它就想是一团乱码。

抽象和紧凑的结果就是，学习数学的过程中：

如果你碰到一个古怪的符号，那么，它必定会有及其深远的含义，例如拓扑学上奇怪的花体字母，你必须搞懂与其相关的每一层的含义，才知道这个字母的含义;

如果你碰到一个看似普通的符号，它可能会有与过去不同的含义，例如刚才说的点乘;

对一个符号，必须联系上下文才能知道意义，例如 这个符号：^，有时候用来表示一种特殊的乘法，有时是转置一个矩阵，有时表示指数函数的运算，有时表示按位异或，有时候表示"并且"，有时表示 Ctrl 键,说它是 兰布达λ 又太小，说它是帽子，又常常不写在头顶。该怎么读要看当时的情况。大约数学符号太多，键盘又太小，于是，不知道怎么写的情况下，都用这个超级小的 ^ 代替。

数学本来就很难，诸如此类容易引起误会的地方还特别多。某些时候，一个字母的四个角落都被写上了数字，然后各有不同的含义，比字典的四角号码还难用。

写在两个字母之间的圆点，打高一些和打低一些，含义是不相同的。

字母的头顶上可以加一个尖尖的帽子，或者弧形的帽子，或者一个圆点，或者两个圆点，或者一个小圆圈;字母的右上角可以加任何你能见到的东西，一个两个或者三个小撇，一个带括号的数字，不带括号的数字，甚至类似一篇文章那么长的公式。绝对值的符号可以打到N层。

总结：数学难学的原因是行（黑）话太多。