Question

高中对导数的掌握很好，自学高数可以跳过导数吗？

Answer 1

绝对不可以！
研究一个函数，就是研究这个函数的性质和图象特点。函数的重要性质主要涉及到函数的单调性、奇偶性、对称性、最值、极值、极值点、零点、定义域、值域、切线、渐近线等。
导数作为研究函数的重要工具，主要用来帮助研究函数的单调性、极值、最值、切线、寻找与x轴垂直的渐近线、以及结合导数值的正负画出函数的大致图象。下面分别简单加以介绍。
第一，研究可导函数的单调性。
如果一个函数可导，则在某个区间上根据导数值的正负大致有以下几种情况。

1.导函数值恒大于等于零（导数值等于零的点的个数有限）。此时，原函数在这个区间上是严格递增的函数。

2.导函数值恒小于等于零（导数值等于零的点的个数有限）。此时，原函数在这个区间上是严格递减的函数。

3.导函数值恒为零。此时，原函数在这个区间上是一个常函数。

第二，研究可导函数的极值。
函数的极值不同于函数的最值，它刻画一个函数在函数局部（两端点和间断点除外）上的性质。
1.如果函数在局部某个点P的左侧导数值大于0，右侧导数值小于0，则原函数在点P附近“左增右减”，则函数图象在点P附近最高，点P处对应的函数值即为函数极大值，同时把点P的横坐标称为函数的一个极大值点。

2.如果函数在局部某个点P的左侧导数值小于0，右侧导数值大于0，则原函数在点P附近“左减右增”，则函数图象在点P附近最高，点P处对应的函数值即为函数极大值，同时把点P的横坐标称为函数的一个极大值点。
第三，研究可导函数的最值和值域。
求函数的值域离不开求函数的最值，而可导函数的最值和极值间有着密切的联系。函数极值与函数最值的区别和联系主要有以下几点。

1.如果一个函数可导，则函数的极值不一定是函数的最值，函数的最值也不一定是函数的极值。

2.可导函数的最值往往在这个函数的所有极值和端点处的函数中取得。

3.如果一个可导函数的最值在其定义域的内部取得（不在端点和间断点处取得），则此时的函数的最值也一定是函数的一个极值。
正是基于以上的事实，所以我们在求一个可导函数的最值时，只需要求出这个可导函数在区间端点处函数值、间断点处函数值、所有的极值，然后把它们比较大小，它们中的最大值就是这个函数的最大值，它们中的最小值就是这个函数的最小值。
第四，研究可导函数的切线。
求可导函数的切线方程往往需要求出这条切线的斜率。可导函数的导数值与切线斜率的关系就是，可导函数在切点处的导数值就等于在这个切点处的切线的斜率值。所以，求切线的斜率时，只要先求出原函数的导函数，然后再求出导函数在切点处对应的导数值即可。
第五，研究可导函数的渐近线。
直接用导数工具求函数的渐近线，主要是求渐近线与坐标系中的x轴垂直的渐近线。因为这类渐近线的斜率不存在，对应的导函数值在此处取到“无穷大”（正无穷大或负无穷大）。

基于上面这个原理，在不知道函数图象的前提下求其类渐近线时，可以在求出其导函数后，找导函数值为无穷大的点。
第六，结合导数值的正负画出函数的大致图象

求出一个函数的定义域后，以函数的导数为工具，找出函数的极值点、零点、端点后，结合导数的正负判断出函数的单调区间，然后用光滑曲线连结各点后得到函数的大致图象。

结合导数作图的功能非常强大，它可以帮我们画出很多常见的基本函数之外的函数图象。

Answer 2

你好！如果高中对导数掌握的很好，包括对导数的意义也理解得非常深刻，那么实际上是只能跳过非常有限的部分小节。

个人还是建议踏踏实实学习导数部分的内容，为一元函数微分学的应用打下基础。

下面正文部分，我不会谈及任何具体的数学知识，单纯从一元微积分部分（也就是高数上）的部分内容做一定的解读。

我选择的教材是李忠版本的《高等数学》[1]，这套教材与常规教材的编排顺序有所不同，非常方便要开设其他需要马上应用微积分的专业学习。比如物理专业如果在大一上就要开设力学，就需要马上上手微积分的运算。

下面是这本书的目录：


上册目录1

上册目录2

上册目录3

上册目录4

上册目录5

上册目录6
一般而言，传统的高等数学（比如同济版本）上册内容为：

第一章：函数与极限

第二章：导数与微分

第三章：微分中值定理与导数的应用

第四章：不定积分

第五章：定积分

第六章：定积分的应用

第七章：微分方程

结合同济高数的上册内容，这本书真正属于传统意义高等数学上册的部分有：

第一章：函数与极限

第二章：微积分的基本概念

第三章：积分的计算

第四章：微分中值定理与泰勒公式

下面具体解读

首先第一章函数与极限，基本上非数学类的高数书都会以这一章作为开头。因为实际上微积分本质就是建立在以极限思想和相对应的语言打造的高楼大厦，并且微积分的研究对象主要就是函数，或者说是实数域上的函数。

第二章是微积分的基本概念，也就是相当于把导数和微分以及不定/定积分的基本概念放在一起，这里其实可以看到，确实有高中就讲了的导数知识，但是十分有限。


高中导数知识结构

第二章高中阶段主要涉及的部分
对照高中的导数知识体系我们可以看到，在第二章主要对应2.1和2.2两个小节的内容，剩下的内容还是需要重新学习。

既然高中所占据的内容本来就不多，还不如重新打牢基础，扎扎实实学习。

第三章完全讲解积分的运算，这里在高中定积分不算是什么重点内容，所以相当于重新学习。

第四章的内容实际上就是一元函数微分学的应用，主要包含：中值定理以及利用导数研究函数两大内容。

中值定理的部分可能对于基础特别好的学生，可能听说过一些皮毛性的知识，或者也会在一些压轴题上应用。但是比较严肃地证明，了解相关的意义，以及专门做为这些中值定理量身定做的证明题，应该机会还是不多。

这一块内容，是高等数学上册的重点和难点，也是期末考试压轴题、考研数学和数学竞赛中的常客。所以不管你之前的高中数学基础如何，请重点学习这个部分的内容。

后面利用导数研究函数的极值部分（以及最值问题），是我们高中阶段另外一个非常熟悉的内容。所以这一个部分对高中导数扎实的同学，确实是一个比较舒服的内容。

所以很遗憾，我们在高中阶段真正就已经掌握的内容，只有极值问题这一部分：


第四章高中阶段主要涉及的部分
后面五六章属于下册的内容这里不展开讨论。

所以可以看出：除了在高中阶段因为搞物理竞赛，或者其他竞赛习题性学习了微积分（高等数学）的同学，可以跳过大一上的高数内容。对于其他同学，最好还是严肃、系统地学习是一个更为安全的道路。

Answer 3

当然不能，还有大把知识没学到：导数的介值性；可导充要条件；导数的方法（高中只学了前两种）：导数表，四则运算，莱布尼兹公式，复合函数求导，参数方程求导，反函数求导，对数求导，二阶求导，高阶求导；微分的定义，一阶形式不变性，微分在几何和近似计算的应用；导数应用（高中只学前两个）：单调性，最值，凹凸性，拐点，单调性、凹凸性与极值，詹森不等式，一些不等式和恒等式的证明，渐近线，斜率、曲率与曲率半径，对称性与周期性，函数的作图。

还有一点，高中课本说，可导一定是连续的。但是，狄利克雷函数可导但不连续。

可见大学的一章书的内容几乎相当于高中两到三章的内容。我当年大学学数学分析，前面两个多月一直在学实数，极限，连续，一致连续，到了距学期结束还有五周才学到导数与微分这一章，老师讲只用了一个星期讲完，后面一章中值定理也是一周多一点讲完。

Answer 4

补习不用只看基础高中数学。不要让老师影响的情绪。

高中可能会有一些部分是高中没有的，但是高中要学的高阶导数。但是考试肯定来不及，因为高考是两种考试的结合，是高中衍生品的提升和拓展。先大致一下。

下图：

导数在高中属于中等难度，所以不会用课本以外的方法给答案加分。导数是高三才学的。一般是用来解决极值和单调性的，因为毕竟大学高等数学和高中数学差别很大，主要是公式的应用。

高中数学是高等数学的基础，微分和积分都不容易。导数本来是高等数学的基础工具，另一个是评价测试。大学高等数学是高中数学的拓展，应该是高中数学的基础部分。

Answer 5

自学高数，应该再复习一遍导数。
数学知识和公式都是一环紧扣自环，不能断节。就算高中的导数掌握的很好，自学高数时，再复习一遍也会有益处。