矩阵求导术(上)
矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱液纤无绪，本文来做个科普，分作两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 表示（列）向量，大写字母 表示矩阵。
首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义为
即 f 对 逐元素求导排成与 尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是对函数较复杂的情形难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想，闹首仿为何要将 f 看做矩阵 而不是各元素 的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。
为此，我们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系：
多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系：
这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度与微分的联系：全微分 是梯度向量 与微分向量 的内积
受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系：
其中 代表迹(trace)是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵A,B， ，芹贺即 是矩阵 , 的内积。与梯度相似，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了矩阵导数与微分的联系：全微分 是导数 与微分矩阵 的内积。
然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如 ，我们是如何求导的呢？ 通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。 故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：
我们试图利用矩阵导数与微分的联系 ，在求出左侧的微分 后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧(trace trick)：
观察一下可以断言，若标量函数 f 是矩阵 经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对 f 求微分，再使用迹技巧给 套上迹并将其它项交换至 左侧，对照导数与微分的联系 ，即能得到导数。
特别地，若矩阵退化为向量，对照导数与微分的联系 ，即能得到导数。
在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得 ，而 是 的函数，如何求 呢？在微积分中有标量求导的链式法则 ，但这里我们 不能随意沿用标量的链式法则 ，因为矩阵对矩阵的导数 截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出 ，再将 用 表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至 左侧，即可得到 。
最常见的情形是 ，此时
可得到
。
接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。
，求 。其中 是 列向量， 是 矩阵 是 列向量， f 是标量。
解：
先使用矩阵乘法法则求微分， ，注意这里的 , 是常量， , ，得到： 。
由于 是标量，它的迹等于自身， ，套上迹并做矩阵乘法交换： ，注意这里我们根据 交换了 与 。
对照导数与微分的联系 ，得到 。
注意：这里不能用 ，导数与矩阵乘法的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。
，求 。其中 是 列向量， 是 矩阵， 是 列向量， 表示逐元素求指数， f 是标量。
解：
先使用矩阵乘法、逐元素函数法则求微分：
再套上迹并做交换：
注意这里我们先根据 交换了 、 与 ，再根据 交换了 与 。
对照导数与微分的联系 ，得到
，求 。其中 是 列向量， 是 矩阵， 是 矩阵， 是 对称矩阵， 是逐元素函数， f 是标量。
解：
先求 ，求微分，使用矩阵乘法、转置法则： ，对照导数与微分的联系，得到 ，这里 是对称矩阵。
为求 ，再将 用 表示出来代入，并使用矩阵乘法/逐元素乘法交换： ，对照导数与微分的联系，得到 。
， 求 的最小二乘估计，即求 的零点。其中 是 列向量， 是 矩阵， 是 列向量， l 是标量。
解：
这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。
先将向量模平方改写成向量与自身的内积：
求微分，使用矩阵乘法、转置等法则：
对照导数与微分的联系 ，得到 。
的最小二乘估计为 。
样本 ，求方差 的最大似然估计。
写成数学式是： ，求 的零点。其中 是 列向量， 是样本均值， 对称正定矩阵， l 是标量， 表示自然对数。
解：
首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，
第一项是
第二项是 。
再给第二项套上迹做交换：
= = ，
其中先交换迹与求和，然后将 交换到左边，最后再交换迹与求和，并定义 为样本方差矩阵。
得到 。对照导数与微分的联系，有 ，其零点即 的最大似然估计为 。
，求 。其中 是除一个元素为1外其它元素为0的 列向量， 是 矩阵， 是 列向量， l 是标量； 表示自然对数， ，其中 表示逐元素求指数， 代表全1向量。
解1：
首先将softmax函数代入并写成 = ，这里要注意逐元素log满足等式 ，以及 满足 。
求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则： 。
再套上迹并做交换，注意可化简 ，这是根据等式 ，
故
=
= 。
对照导数与微分的联系，得到 。
解2：
定义 ，则 ，先同上求出 ，再利用复合法则： ，
得到 。
最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。
，求 和 。其中 是除一个元素为1外其它元素为0的的 列向量， 是 矩阵， 是 矩阵， 是 列向量，
