Question

设β,α1,α2线性相关,β,α2,α3线性无关,则α1,α2,α3的线性相关还是线性无关

Answer 1

β,α2,α3线性无关;则其部分组β,α2(1)线性无关;(1)同时是β,α1,α2的一个部分组,由题意,(1)是β,α1,α2的一个极大无关组,则α1可由β,α2线性表出,设α1=k1β+k2α2;α1,α2,α3的线性相关还是线性无关转换为判断x1(k1β+k2α2)+x2α2+x3α3=0有无非零x1k1β+（x1k2+x2）α2+x3α3＝0,由于β,α2,α3线性无关则：x1k1＝0；x1k2+x2＝0,x3＝0；该齐次方程组系数阵行列式为k1;则k1=0线性相关,k1/=0线性无关.