二面角的求法
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二面角的求法
求两面角，最关键的是找到两面角的平面角
这个两面角的平面角最关键的一点就是该角的两条边都必须垂直于两个面的交线
找两面角的平面常用的方法有一般有两种
平面α与平面β，交线l，空间中一点P
1)P在平面α内，但不在交线l上
过P做平面β的垂线，垂足为H，过H作l的垂线，垂足为A，连接AP，角PAH即为二面角的平面角
2)P在交线l上
过P在平面α、β内分别作垂直于l的射线PA、PB，角APB即为二面角的平面角
3)P在两平面外
过P做平面β的垂线，垂足为H，过H作l的垂线，垂足为A，过A在平面α内作l的垂线AB，则角BAH即为二面角的平面角
总而言之关键就是该角的两条边都必须垂直于两个面的交线，还有要注意二面角可以是钝角，看具体情况。
如果确切的告诉你A-l-B这种样子的，就算夹角
但是只问你平面与平面的时候就可能有两解
二面角的几种求法？
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得 也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。
然后根据n1·n2=|n1||n2|cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α （一）二面角定义的回顾： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。
二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角 的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线 ，则 为二面角 的平面角。
（二）二面角的通常求法 （1）由定义作出二面角的平面角； （2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。 （3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； （4）空间坐标求二面角的大小 其中，（1）(2)点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。
举几个例子： 例1: (2003北京春，19)如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，侧棱AA1长为1，底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点，求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中 过 C1作C1O⊥DE，连接CO 由三垂线定理可得： CO⊥DE ∠C1OC为其两平面的二面角 自己计算一下吧！ 例2、正三角形ABC的边长为10,A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。 百度太牛了，图都莫法粘贴过来。
还要上传。不过方法就是这些，上面的你自己做做练习吗！ 并祝学习进步！。
二面角的几种求法？
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得
也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。然后根据
n1·n2=|n1||n2|cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α
（一）二面角定义的回顾：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角 的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线 ，则 为二面角 的平面角。
（二）二面角的通常求法
(1)由定义作出二面角的平面角；
(2)作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。
(3)利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；
(4)空间坐标求二面角的大小
其中，（1）(2)点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。
举几个例子：
例1: (2003北京春，19)如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，侧棱AA1长为1，底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点，求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.
在长方体ABCD—A1B1C1D1中
过 C1作C1O⊥DE，连接CO
由三垂线定理可得：
CO⊥DE
∠C1OC为其两平面的二面角
自己计算一下吧！
例2、正三角形ABC的边长为10,A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。
百度太牛了，图都莫法粘贴过来。还要上传。不过方法就是这些，上面的你自己做做练习吗！
并祝学习进步！
二面角的求法,请具体到图形
没关系。
方法很多，最常用的方法是用三垂线定理。
从面ACD中的E点向面BCD做垂线，垂足为F，再由F向AC作垂线，垂足为G，则角EGF为二面角的一个平面角，利用三角函数求出这个角的大小即可。
此外还有很多方法。
可以使用空间向量，这种方法降低了思维难度，提高了计算难度。找到合适的坐标系，然后将需要用的点的坐标表示出来。然后寻找两个平面的法向量，注意两个法向量的方向，一个指向二面角内部，一个指向二面角外部。然后求这两个法向量的夹角即可。
空间向量的方法比较万能，只要能找到合适的坐标系，建议熟练使用。它虽然计算烦，但是能将不会做的题做出来。
高中所学的二面角的求法
(1)定义法（基本）：分别向交线作垂线，求两线的夹角；
(2)垂面法（少用）：找出交线的垂面，并作出垂面与半平面的交线，求夹角；
(3)射影面积法（常用）：二面角的余弦值等于 某一个半平面在另一个半平面的射影的面积 和该平面自己本身的面积的 比值
(4)三垂线法（常用）：过某一半平面内一点向另一半平面和交线作垂线，作出射影由tan角求解；
(5)向量法：（万能）分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。注意该夹角并不是二面角，而是它的补角！
基本思路是这样，其中里面有很多技巧，如等体积法求垂线的长，法向量的求法等
高中所学的二面角的求法
（1）定义法（基本）：分别向交线作垂线，求两线的夹角； （2）垂面法（少用）：找出交线的垂面，并作出垂面与半平面的交线，求夹角； （3）射影面积法（常用）：二面角的余弦值等于 某一个半平面在另一个半平面的射影的面积 和该平面自己本身的面积的 比值 （4）三垂线法（常用）：过某一半平面内一点向另一半平面和交线作垂线，作出射影由tan角求解； （5）向量法：（万能）分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。
注意该夹角并不是二面角，而是它的补角！ 基本思路是这样，其中里面有很多技巧，如等体积法求垂线的长，法向量的求法等。
二面角的平面角及求法！！！！！
方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.
依题意得 A(22,0,0),B(0,0,0),C(2,-2,5)A1(22,22,0),B1(0,22,0),C1(2,2,5)
(I)解：易得 AC→=（-2,-2,5）,A1B1→=（-22,0,0）,
于是 cos〈AC→，A&1B1→>=AC→•A1B1→|AC→|•|A1B1→|=43*22=23,
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23.
(II)解：易知 AA1→=（0,22,0）,A1C1→=（-2,-2,5）.
设平面AA1C1的法向量 m→=（x,y,z）,
则 {m→•A1C1→=0m→•AA1→=0即 {-2x-2y+5z=022y=0.
不妨令 x=5，可得 m→=（5,0,2）,
同样地，设平面A1B1C1的法向量 n→=（x,y,z）,
则 {n→•A1C1→=0n→•A1B1→=0即 {-2x-2y+5z=0-22x=0.不妨令 y=5,
可得 n=(0,5,2).
于是 cos=m→•n→|m→||n→|=27•7=27,
从而 sin=357.
所以二面角A-A1C1-B的正弦值为 357.
(III)解：由N为棱B1C1的中点，
得 N(22,322,52).设M(a,b,0),
则 MN→=（22-a,322-b,52）
由MN⊥平面A1B1C1，得 {MN→•A1B1→=0MN→•A1B1→=0
即 {（22-a）•（-22）=0(22-a)•（-2）+(322-b)•（-2）+52•5=0.
解得 {a=22b=24.故 M(22,24,0).
因此 BM→=（22,24,0），所以线段BM的长为 |BM→|=104.
方法二：
(I)解：由于AC∥A1C1，故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角.
因为C1H⊥平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心， AA1=22,C1H=5,
可得A1C1=B1C1=3.
因此 cos∠C1A1B1=A1C12+A1B12-B1C122A1C1•A1B1=23.
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23.
(II)解：连接AC1，易知AC1=B1C1,
又由于AA1=B1A1,A1C1=A1=C1,
所以△AC1A1≌△B1C1A，过点A作AR⊥A1C1于点R,
连接B1R，于是B1R⊥A1C1，故∠ARB1为二面角A-A1C1-B1的平面角.
在Rt△A1RB1中， B1R=A1B1•sin∠RA1B1=22•1-(23)2=2143.
连接AB1，在△ARB1中， AB1=4,AR=B1R,cos∠ARB1=AR2+B1R2-AB122AR•B1R= -27,
从而 sin∠ARB1=357.
所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为 357.
(III)解：因为MN⊥平面A1B1C1，所以MN⊥A1B1.
取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，
所以ND∥C1H且 ND=12C1H=52.
又C1H⊥平面AA1B1B,
所以ND⊥平面AA1B1B，故ND⊥A1B1.
又MN∩ND=N,
所以A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E,
则ME⊥A1B1，故ME∥AA1.
由 DEAA1=B1EB1A1=B1DB1A=14,
得 DE=B1E=22，延长EM交AB于点F,
可得 BF=B1E=22.连接NE.
在Rt△ENM中，ND⊥ME，故ND2=DE•DM.
所以 DM=ND2DE=524.
可得 FM=24.
连接BM，在Rt△BFM中， BM=FM2+BF2=104.
二面角的求法
首先图你要能画出来吧基本上其实已经告诉你两条了1.OP垂直三棱锥p-ABC地面 OP在三角形ACP中 且假设OP为Z轴2.又面ACP垂直于地面ABC AB=BC,O为AC的中点，顾得 OB垂直AC于点O 又OB在地面ABC中 面ABC垂直于面ACP 故OB垂直于面ACP 又OB,OP相较于点O 故OB垂直于OP OB为Y轴3. 角ABC为等腰直角三角形 得 角BAC=45度，很容易可知OB平分角ABC 故角ABO为45度 故角AOB=90度，OB垂直于AC AC为X轴（其实2中已经证得OB垂直OA了）综上， 三线段OA,OP,OB相互垂直于点O，可已点O为轴心设三轴。
求两面角，最关键的是找到两面角的平面角
这个两面角的平面角最关键的一点就是该角的两条边都必须垂直于两个面的交线
找两面角的平面常用的方法有一般有两种
平面α与平面β，交线l，空间中一点P
1)P在平面α内，但不在交线l上
过P做平面β的垂线，垂足为H，过H作l的垂线，垂足为A，连接AP，角PAH即为二面角的平面角
2)P在交线l上
过P在平面α、β内分别作垂直于l的射线PA、PB，角APB即为二面角的平面角
3)P在两平面外
过P做平面β的垂线，垂足为H，过H作l的垂线，垂足为A，过A在平面α内作l的垂线AB，则角BAH即为二面角的平面角
总而言之关键就是该角的两条边都必须垂直于两个面的交线，还有要注意二面角可以是钝角，看具体情况。
如果确切的告诉你A-l-B这种样子的，就算夹角
但是只问你平面与平面的时候就可能有两解
二面角的几种求法？
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得 也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。
然后根据n1·n2=|n1||n2|cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α （一）二面角定义的回顾： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。
二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角 的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线 ，则 为二面角 的平面角。
（二）二面角的通常求法 （1）由定义作出二面角的平面角； （2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。 （3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； （4）空间坐标求二面角的大小 其中，（1）(2)点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。
举几个例子： 例1: (2003北京春，19)如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，侧棱AA1长为1，底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点，求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中 过 C1作C1O⊥DE，连接CO 由三垂线定理可得： CO⊥DE ∠C1OC为其两平面的二面角 自己计算一下吧！ 例2、正三角形ABC的边长为10,A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。 百度太牛了，图都莫法粘贴过来。
还要上传。不过方法就是这些，上面的你自己做做练习吗！ 并祝学习进步！。
二面角的几种求法？
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得
也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。然后根据
n1·n2=|n1||n2|cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α
（一）二面角定义的回顾：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角 的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线 ，则 为二面角 的平面角。
（二）二面角的通常求法
(1)由定义作出二面角的平面角；
(2)作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。
(3)利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；
(4)空间坐标求二面角的大小
其中，（1）(2)点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。
举几个例子：
例1: (2003北京春，19)如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，侧棱AA1长为1，底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点，求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.
在长方体ABCD—A1B1C1D1中
过 C1作C1O⊥DE，连接CO
由三垂线定理可得：
CO⊥DE
∠C1OC为其两平面的二面角
自己计算一下吧！
例2、正三角形ABC的边长为10,A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。
百度太牛了，图都莫法粘贴过来。还要上传。不过方法就是这些，上面的你自己做做练习吗！
并祝学习进步！
二面角的求法,请具体到图形
没关系。
方法很多，最常用的方法是用三垂线定理。
从面ACD中的E点向面BCD做垂线，垂足为F，再由F向AC作垂线，垂足为G，则角EGF为二面角的一个平面角，利用三角函数求出这个角的大小即可。
此外还有很多方法。
可以使用空间向量，这种方法降低了思维难度，提高了计算难度。找到合适的坐标系，然后将需要用的点的坐标表示出来。然后寻找两个平面的法向量，注意两个法向量的方向，一个指向二面角内部，一个指向二面角外部。然后求这两个法向量的夹角即可。
空间向量的方法比较万能，只要能找到合适的坐标系，建议熟练使用。它虽然计算烦，但是能将不会做的题做出来。
高中所学的二面角的求法
(1)定义法（基本）：分别向交线作垂线，求两线的夹角；
(2)垂面法（少用）：找出交线的垂面，并作出垂面与半平面的交线，求夹角；
(3)射影面积法（常用）：二面角的余弦值等于 某一个半平面在另一个半平面的射影的面积 和该平面自己本身的面积的 比值
(4)三垂线法（常用）：过某一半平面内一点向另一半平面和交线作垂线，作出射影由tan角求解；
(5)向量法：（万能）分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。注意该夹角并不是二面角，而是它的补角！
基本思路是这样，其中里面有很多技巧，如等体积法求垂线的长，法向量的求法等
高中所学的二面角的求法
（1）定义法（基本）：分别向交线作垂线，求两线的夹角； （2）垂面法（少用）：找出交线的垂面，并作出垂面与半平面的交线，求夹角； （3）射影面积法（常用）：二面角的余弦值等于 某一个半平面在另一个半平面的射影的面积 和该平面自己本身的面积的 比值 （4）三垂线法（常用）：过某一半平面内一点向另一半平面和交线作垂线，作出射影由tan角求解； （5）向量法：（万能）分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。
注意该夹角并不是二面角，而是它的补角！ 基本思路是这样，其中里面有很多技巧，如等体积法求垂线的长，法向量的求法等。
二面角的平面角及求法！！！！！
方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.
依题意得 A(22,0,0),B(0,0,0),C(2,-2,5)A1(22,22,0),B1(0,22,0),C1(2,2,5)
(I)解：易得 AC→=（-2,-2,5）,A1B1→=（-22,0,0）,
于是 cos〈AC→，A&1B1→>=AC→•A1B1→|AC→|•|A1B1→|=43*22=23,
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23.
(II)解：易知 AA1→=（0,22,0）,A1C1→=（-2,-2,5）.
设平面AA1C1的法向量 m→=（x,y,z）,
则 {m→•A1C1→=0m→•AA1→=0即 {-2x-2y+5z=022y=0.
不妨令 x=5，可得 m→=（5,0,2）,
同样地，设平面A1B1C1的法向量 n→=（x,y,z）,
则 {n→•A1C1→=0n→•A1B1→=0即 {-2x-2y+5z=0-22x=0.不妨令 y=5,
可得 n=(0,5,2).
于是 cos=m→•n→|m→||n→|=27•7=27,
从而 sin=357.
所以二面角A-A1C1-B的正弦值为 357.
(III)解：由N为棱B1C1的中点，
得 N(22,322,52).设M(a,b,0),
则 MN→=（22-a,322-b,52）
由MN⊥平面A1B1C1，得 {MN→•A1B1→=0MN→•A1B1→=0
即 {（22-a）•（-22）=0(22-a)•（-2）+(322-b)•（-2）+52•5=0.
解得 {a=22b=24.故 M(22,24,0).
因此 BM→=（22,24,0），所以线段BM的长为 |BM→|=104.
方法二：
(I)解：由于AC∥A1C1，故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角.
因为C1H⊥平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心， AA1=22,C1H=5,
可得A1C1=B1C1=3.
因此 cos∠C1A1B1=A1C12+A1B12-B1C122A1C1•A1B1=23.
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23.
(II)解：连接AC1，易知AC1=B1C1,
又由于AA1=B1A1,A1C1=A1=C1,
所以△AC1A1≌△B1C1A，过点A作AR⊥A1C1于点R,
连接B1R，于是B1R⊥A1C1，故∠ARB1为二面角A-A1C1-B1的平面角.
在Rt△A1RB1中， B1R=A1B1•sin∠RA1B1=22•1-(23)2=2143.
连接AB1，在△ARB1中， AB1=4,AR=B1R,cos∠ARB1=AR2+B1R2-AB122AR•B1R= -27,
从而 sin∠ARB1=357.
所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为 357.
(III)解：因为MN⊥平面A1B1C1，所以MN⊥A1B1.
取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，
所以ND∥C1H且 ND=12C1H=52.
又C1H⊥平面AA1B1B,
所以ND⊥平面AA1B1B，故ND⊥A1B1.
又MN∩ND=N,
所以A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E,
则ME⊥A1B1，故ME∥AA1.
由 DEAA1=B1EB1A1=B1DB1A=14,
得 DE=B1E=22，延长EM交AB于点F,
可得 BF=B1E=22.连接NE.
在Rt△ENM中，ND⊥ME，故ND2=DE•DM.
所以 DM=ND2DE=524.
可得 FM=24.
连接BM，在Rt△BFM中， BM=FM2+BF2=104.
二面角的求法
首先图你要能画出来吧基本上其实已经告诉你两条了1.OP垂直三棱锥p-ABC地面 OP在三角形ACP中 且假设OP为Z轴2.又面ACP垂直于地面ABC AB=BC,O为AC的中点，顾得 OB垂直AC于点O 又OB在地面ABC中 面ABC垂直于面ACP 故OB垂直于面ACP 又OB,OP相较于点O 故OB垂直于OP OB为Y轴3. 角ABC为等腰直角三角形 得 角BAC=45度，很容易可知OB平分角ABC 故角ABO为45度 故角AOB=90度，OB垂直于AC AC为X轴（其实2中已经证得OB垂直OA了）综上， 三线段OA,OP,OB相互垂直于点O，可已点O为轴心设三轴。
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