Question

数列an满足a1=1,an=1/2an+1(n≥2)(1)若bn=an-2,求证bn为等比数列 an=1/2a（n-1）+1

Answer 1

证明：
等式an=1/2a（n-1）+1两边同时减2得
an-2=1/2a(n-1)-1
=1/2[a(n-1)-2] n≥2
即 bn=1/2b(n-1),bn/b(n-1)=1/2 n≥2
现在就可知道：{bn}在第2项以后一定是等比数列,q＝1/2
又∵a2=1/2a1+1=3/2
∴b2＝a2-2=-1/2,b1=a1-2=-1
∴n≥2时,bn＝-1/2*(1/2)^[(n-1)-1] =-（1/2)^(n-1)
要注意此处是(n-1)-1,而不是n-1,因为是从｛bn｝的第二项算起的.
又∵n=1时,b1=-(1/2)^(1-1)=-1 满足bn的通项公式
∴bn为等比数列