设f(x)有连续导数且……证明？
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F(a)=∫(0→a)f(t)f'(2a-t)dt
=∫(2a→a)f(2a-x)f'(x)d(2a-x) (x=2a-t)
=∫(a→2a)f(2a-t)f'(t)dt
=∫(a→2a)f(2a-t)d(f(t))
=f(2a-t)f(t)|(a→2a)+∫(a→2a)f(t)f'(2a-t)dt
=f(0)f(2a)-f(a)^2+∫(a→2a)f(t)f'(2a-t)dt
所以F(2a)-2F(a)=F(2a)-F(a)-F(a)
=∫(0→2a)f(t)f'(2a-t)dt-∫(0→a)f(t)f'(2a-t)dt-f(0)f(2a)+f(a)^2-∫(a→2a)f(t)f'(2a-t)dt
=f(a)^2-f(0)f(2a)+∫(0→2a)f(t)f'(2a-t)dt-∫(0→2a)f(t)f'(2a-t)dt
=f(a)^2-f(0)f(2a),2,设f(x)有连续导数且……证明
=∫(2a→a)f(2a-x)f'(x)d(2a-x) (x=2a-t)
=∫(a→2a)f(2a-t)f'(t)dt
=∫(a→2a)f(2a-t)d(f(t))
=f(2a-t)f(t)|(a→2a)+∫(a→2a)f(t)f'(2a-t)dt
=f(0)f(2a)-f(a)^2+∫(a→2a)f(t)f'(2a-t)dt
所以F(2a)-2F(a)=F(2a)-F(a)-F(a)
=∫(0→2a)f(t)f'(2a-t)dt-∫(0→a)f(t)f'(2a-t)dt-f(0)f(2a)+f(a)^2-∫(a→2a)f(t)f'(2a-t)dt
=f(a)^2-f(0)f(2a)+∫(0→2a)f(t)f'(2a-t)dt-∫(0→2a)f(t)f'(2a-t)dt
=f(a)^2-f(0)f(2a),2,设f(x)有连续导数且……证明
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