矩阵证明题 证明:若B为与A同阶的方阵,则BA^-1=A^-1B当且仅当AB=BA.
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首先证明AB=BA...(1)推出BA^-1=A^-1B
1式左右两边分别左乘A^-1
A^-1AB=A^-1BA
推出B=A^-1BA
BA^-1=A^-1BAA^-1=A^-1B
而同时
若BA^-1=A^-1B成立
B=A^-1BA
则必然推出AB=BA
因此 BA^-1=A^-1B当且仅当AB=BA
1式左右两边分别左乘A^-1
A^-1AB=A^-1BA
推出B=A^-1BA
BA^-1=A^-1BAA^-1=A^-1B
而同时
若BA^-1=A^-1B成立
B=A^-1BA
则必然推出AB=BA
因此 BA^-1=A^-1B当且仅当AB=BA
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