Question

三角形解的个数的判断方法

Answer 1

画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。

①若无交点，则无解；

②若有一个交点，则有一个解；

③若有两个交点，则有两个解；

④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。

公式法：运用正弦定理进行求解。

①a＝bsinA，△＝0，则一个解；

②a＞bsinA，△＞0，则两个解；

③a＜bsinA，△＜0，则无解。

a>b 一个解 （a b是三角形的边） 利用正弦定理解三角形,假如解得sinA=c，（其中c是一个具体数字），而且没有任何额外的条件，那么就会有两个解：即A=arcsin(c)或A=π-arcsin(c)。

但是假如有别的条件或者要求，那么A的取值可能就只有一个。举个例子，如果sinA=1/2，但是sinB=√2/2，那么这时A的取值就只能是arcsin(1/2)=π/6，而不再可能取值为A=π-arcsin(1/2)=5π/6。原因是这时不管B的取值为arcsin(√2/2)=π/4或者3π/4都会使得A+B>π，与三角形内角和等于π矛盾，所以A=π/6。

当然，如果有其它条件比如已知a为最长边，那么同样有可能去掉A的一个可能的取值，比如上面的A在这种情况下就不可能取π/6（因为A应该是最大角，所以一定会大于π/3）。总之，如果除了sinA=c之外还有条件或者限制，那么A可能就只有一个解，否则就是有两个解。