Question

什么叫复合函数？？

Answer 1

§1.5 反函数与复合函数
反函数
复合函数
§1.5 反函数与复合函数
一反函数
在函数关系中,自变量与因变量的地位是可以
互换的.
x是自变量,y是因变量,解出x得
1
()xyb
a
=
这里y是自变量, x是因变量,把
1
()xyb
a
=
叫作(0)yaxba=+≠的反函数.
(0)yaxba=+≠
例如
2
定义1.6给定函数(),yfx=若对每一个
(),yZf∈有唯一确定的(),xDf∈使得
(),yfx=则称()yfx=的反函数存在,它是
()yfx=的反函数.
()Zf上的函数,记为1(),xfy =称为定义在
通常把()yfx=称为直接函数.
x
直接函数
反函数
0x
0y
x
y
)(xfy=函数
o
()Zf
()Df
0x
0y
y
1()xfy =反函数
o
()Zf
()1Df
习惯上,用
写为
1
()yxb
a
=
0yaxb a=+ ≠的反函数
1
()xyb
a
= 例如
x表示自变量, y表示因变量,把1()xfy =
与
反函数.
中的xy互换,而称1()yfx =为()yfx=的
3
反函数的图形
(i) 反函数1()xfy =与直接函数()yfx=
的图形一致;
(ii) 反函数1()yfx =
与直接函数()yfx=
的图形关于直线
如右图所示.
yx=对称.
()yfx=
1()yfx =
yx=
x
y
o
(),xy
(),yx
由上图可知,(),xy与(),yx的中点,
22
xyx y++

直线yx=对称.
在直线yx=上,故1()yfx =与()yfx=的图形关于
()yfx=
1()yfx =
yx=
x
y
o
(),xy
(),yx
例如:
21yx= 的反函数是()1
1
2
xy=+,习惯上写为
()1
1;
2
yx=+
()2,,yxx= ∈ ∞ +∞没有反函数,因为给定的y
(),xDf∈不能确定唯一的 与之对应.
[)2,0,yxx=∈+∞具有反函数xy=写成
[),0,.yxx=∈+∞
4
反函数的存在性
结果: 若在区间上单调增加,则它的反[,]ab()yfx=
在区间函数()1xfy =上存在,并且也是[(),()]fafb
单调增加的.
0x
0y
x
y
o
()Zf
()Df
1()xfy =反函数
)(xfy=函数
例1 求函数11xye=+ 的反函数()1.yf x =
解: 函数11xye=+ 的定义域为0,x≥
值域为1,y≥
由11xye=+ 解出x得()2ln 2 2 ,xyy= +
互换,xy得反函数
()()2ln 2 2 , 1 .yxxx= +≥
(1)()()1;Zf Df =
(3)()yfx=与()1yf x =的图形关于
yx=对称.
由反函数定义易知,反函数有以下性质:
(2) 单调函数必有反函数;
5
二 复合函数
设有两个函数()2() , sin ,yfuuu x x ====
将sinux=代入2yu=中,得2sin .yx=
--—称为复合函数.
这是一个由2,sinyuu x==复合而成的函数
()(), ,yfuu x ==若函数
则称()yf x = 为复合函数.x为自变量,y
为因变量,u称为中间变量.
定义1.7设函数
()ux =的值域包含在函数()yfu=的定义域内,
例1设,23,yuux== 则当
3
2
x≥时,y是
x的复合函数23.yx=
例2 设cos , ,yuu x==则当0x≥时y是x
的复合函数cos .yx=
例4:2,1yuu x== 不能构成复合函数.
例3 ()22cos 1yx=+可视为由以下三个函数复
22, cos , 1.yuu vvx== =+
合而成:
6
解: 令256,uxx= +则
1
,y
u
=
再令256,vx x= +则,uv=
于是,该函数由
21
,, 56yuvvxx
u
=== +
复合而成.
例5 讨论2
1
56
y
xx
=
+
的复合过程,并求其定义域.
或
∴要使复合函数有意义,0v>即
2560xx +>解之得2x
∵要使
1
,yuv
u
==有意义,必须且只需
0, 0uv≠>
故复合函数2
1
56
y
xx
=
+
的定义域为
(,2)(3,) ∞ +∞∪
小结
基本内容:反函数,复合函数.
主要掌握:反函数求法,函数复合及把复合函数分解成
简单函数.
作业: P18习题(一)10,11,12.
P19习题(二)3,4.
7
§1.6 初等函数
基本初等函数
常数函数 幂函数
指数函数 对数函数
三角函数 反三角函数
初等函数
1 常数函数:yc=
()()(){},,Df Zf c= ∞+∞ =
图形是平行于x轴截距为c的直线.
一 基本初等函数
ox
y

Answer 2

设y=f(u) 而u=φ（x)

且函数φ（x)的值域包含在f(u)的定义域内，

那么y通过u的联系也是自变量x的函数，

我们称y为x的复合函数，记为y=f[φ（x)],

其中u称为中间变量

复合函数法和图像法。
应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。
判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法
应用：把函数值进行转化求解。
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。

复合函数中 “同增异减”是指增减性 如：
y=tan(u) u=1/x
tan(u)在定义域内是单调增函数 而u=1/x则是单调减函数
两者复合后就为减函数 即相同增减性即增 不同增减性即减 上式中若U＝-1／X Y就为增函数

Answer 3

例：y=1/[(x^2+2x+6)^0.5]设x^2+2x+6为t，(x^2+2x+6)^0.5为a
可以看成f(x)=x^2+2x+6
h(t)=t^0.5
g(a)=1/a
所谓复合函数其实主要目的把你不懂得函数化成你熟悉的函数像2次函数，反比例函数等等。这样就可以解决题目了。
复合函数的单调性是“同增异减”
若f(x)在它的定义域上为增函数，h(t)在它的定义域上为减函数那么h(t)和f(x)组成的复合函数单调性为减函数，若g(a)的单调性为
减，那么h(t)和f(x)和g(a)组成的复合函数单调性为增函数

Answer 4

什么是复合函数呢