Question

二次三项式的因式分解

Answer 1

二次三项式的因式分解：

十字相乘法

1. 根据多项式的乘法法则我们可以得到： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab ．

利用这个规律，我们可以得到分解形如 x2+px+q 的二次三项式的方法：如果可以找到两个数 a、b，使得常数项为两者的积，同时一次项系数为两者的和，即 ab=q ， a+b=p ，则 x2+px+q=(x+a)(x+b) ．

这种分解方法可以用上面的十字表示，其中：

第一列的积 1×1=1 为二次项系数；

第二列的积 a·b=q 为常数项；

列间的交叉乘积和 1·b+1·a=a+b=p 为一次项系数．

2. 这个方法可以推广到二次项系数不为 1 的情形：

根据多项式的乘法法则我们可以得到： (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd ．

如果我们想要对形如 px2+qx+r 的二次三项式进行因式分解，那么就需要探索如下图的十字：

其中：

第一列的积 a·c=p 为二次项系数；

第二列的积 b·d=r 为常数项；

列间的交叉乘积和 a·d+b·c=q 为一次项系数．

则有px2+qx+r=(ax+b)(cx+d) ．

以上方法被称为十字相乘法，这个方法可以概括为 16 个字：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，横向写出”。