二次三项式的因式分解

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二次三项式的因式分解

十字相乘法

1. 根据多项式的乘法法则我们可以得到: (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab .

利用这个规律,我们可以得到分解形如 x2+px+q 的二次三项式的方法:如果可以找到两个数 a、b,使得常数项为两者的积,同时一次项系数为两者的和,即 ab=q , a+b=p ,则 x2+px+q=(x+a)(x+b) .

这种分解方法可以用上面的十字表示,其中:

第一列的积 1×1=1 为二次项系数

第二列的积 a·b=q 为常数项;

列间的交叉乘积和 1·b+1·a=a+b=p 为一次项系数.

2. 这个方法可以推广到二次项系数不为 1 的情形:

根据多项式的乘法法则我们可以得到: (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd .

如果我们想要对形如 px2+qx+r 的二次三项式进行因式分解,那么就需要探索如下图的十字:

其中:

第一列的积 a·c=p 为二次项系数;

第二列的积 b·d=r 为常数项;

列间的交叉乘积和 a·d+b·c=q 为一次项系数.

则有px2+qx+r=(ax+b)(cx+d) .

以上方法被称为十字相乘法,这个方法可以概括为 16 个字:“头尾分解,交叉相乘,求和凑中,横向写出”。

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