正态分布公式推导
正态分布一种概率分布，也称“常态分布”。正态分布具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N（μ，σ^2）。服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ=0，σ^2 =1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布公式推导如下：
根据实际含义，当 x 越大或者越小时（即远离原点时），PDF应该更小，因此有：
(1)fX(x)=Ae−Bx2
又因为根据定义，有：
(2)∫−\infin+\infinfX(x)=1
则对 (1) 式中 exp 项积分，有：
(3)∫−∞+∞e−Bx2dx=πB
因此可知
A=Bπ
即：
(4)fX(x)=Bπe−Bx2dx
检查其期望和方差，有：
(5)E[X]=∫−∞+∞Bπxe−Bx2dx=0
(6)Var(X)=∫−∞+∞Bπx2e−Bx2dx=12B
为了保证 σ2=1 ，令 B=1/2 ，得到：
(7)fX(x)=12πe−x2/2
标准正态分布公式
标准正态分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0,即曲线图像对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(O, 1)。
标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96 ~ +1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58 ~ +2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表(自由度为∞时)，借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。
