Question

复变对数函数的性质

Answer 1

复变对数函数的性质如下：

1、复变对数函数在一点处解析的条件是比较强的，要求在 的某个邻域内都是可微的，所以复变对数函数在点解析，则在处肯定可导；反之则不一定。但是复变对数函数在区域内的可导性与解析性是等价的，从而由可导的定义可以推出可导与解析的判定条件。

2、复变对数函数的积分定义思路与一元实函数定积分的定义思路一样，都是分割、取近似、求和、取极限。不同的是把实定积分中沿着数轴从点到点的积分路径推广到了复平面上沿着曲线从起点到终点的积分路径。

3、解析函数的洛朗展式是一个双边幂级数，它不仅包含非负整数次幂项，也包含负整数次幂项，所以泰勒级数可以看作是洛朗级数的特殊情形。如果一个复变对数函数在某个区域内可以展为泰勒级数，那么它在这个区域的洛朗展式就是那个泰勒级数。

4、留数（又可称为残数）是复变对数函数论中所独有的又一个重要概念。留数的概念最早是在1825年由柯西提出的。由于对解析函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项 ，因此称它的系数 为在处的留数。