控制系统的微分方程
常用微分方程来描述系统各变量的动态关系。
建立微分方程的步骤如下：
1、分析各元件的工作原理， 明确输入量和输出量；
2、按照信号的传递顺序， 列写各变量的动态关系式；
3、化简（线性化、 小曲中间变量）， 写出输入、 输出变量间的数学表达式。
常用元件的微分方程：
电阻： i=u/R ；
电容： i=C*du/dt ； 电感： u=di/dt ；
质量块： F=M*dv/dt ；
弹簧： F=k(x1−x2) ；
阻尼器： F=b(v1−v2) ；
控制系统的传递函数
概念
在经典控制理论中， 一般用传递函数来描述控制系统。 对于一个线性定常系统， 在零初始条件 （零输入+零状态） 下， 输出变量的 Laplace 变换与输入变量的 Laplace 变换之比， 称为该系统的传递函数。 如下图所示：
传递函数是变量 s 的有理分式， 且分子的次数 m 和分母的次数 n 满足m≤n。
可以类比一下 电路中的网络函数。
典型环节
系统的传递函数通常可以表示为：
G(s)=C(s)/R(s)=b0sm+b1sm−1+⋯+bm−1s+bm/a0sn+a1sn−1+⋯+an−1s+an
可进行因式分解， 分解为如下形式：
G(s)=Ksr∏i=1h(τis+1)∏j=1l(τj2s2+2ζjτjs+1)/sv∏i=1k(Tis+1)∏j=1q(Tj2s2+2ZjTjs+1)
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积， 每个基本因子就称为 典型环节。
动态结构图
动态结构图是表示组成控制系统的各个元件之间信号传递动态关系的图形。
绘制动态结构图的步骤如下：
1、建立控制系统各元部件的微分方程：
2、对各微分方程在零初始条件下， 进行 Laplace 变换， 并作出各元件结构图；
3、按照系统中各变量的传递顺序， 依次将各元件结构图连接起来。 （通常输入在左， 输出在右）。
动态结构图的等效变换
动态结构图可以做等效变换， 最终求出整个系统的传递函数， 但这种等效变换的方法在框图过于复杂时难以计算， 因此不是很常用。 这种情况下使用下一节的梅森公式会比较容易计算。 下面只列举常用的三种等效变换。
串联
并联
反馈
森公式
对于一个结构图， 有如下概念：
1、前向通道： 从输入到输出的通道， 并且按照箭头的指向经过的元件只有一次；
2、回路： 在结构图中信号闭合流动的回路；
3、回路传递函数： 回路中， 前向传递通道和反馈通道传递函数的乘积， 并且要算上综合点的正负号；
4、互不接触回路： 没有同一信号流过的不同回路。
可以借助如下系统， 分别用等效变换法和梅森公式计算来理解一下：
Sievers分析仪
2024-10-13 广告
微分方程是描述系统动态特性的基本数学模型。本文讨论微分方程的建立过程与非线性方程线性化问题同通过simulink仿真一个RLC电路例子加以说明。
一、微分方程的建立
微分方程的建立步骤如下：
1、根据具体情况，确定系统或元部件的输入、输出变量。
2、依据各元部件输入、输出变量所遵循的基本定律，列写微分方程组。
3、消去中间变量，求出仅含输入输出变量的系统微分方程。
4、将微分方程整理成规范形式，即将输出变量及其各阶导数项放在等号的左边，输入变量及其各阶导数放在等号右边，分别按降序排列。
二、非线性方程线性化
一般来说，大多数的实际系统都存在一定的非线性，但非线性系统的微分方程并没有通用的求解方法，因此将非线性方程线性化对于解决实际问题具有十分重要的意义。进行线性化的主要思想是：在预期工作点（通常是稳定状态点）附近，用通过该点的切线代替近似代替原来的曲线。常用到的数学方法是在该工作点附近进行泰勒级数展开。
值得注意的是，并不是所有的非线性微分方程都能线性化，如像继电器特性这种本质非线性系统，在数学上不连续，也就不可导，即不满足泰勒展开条件。
线性化的条件有以下两点：
（1）信号在工作点附近变化微量。
（2）信号在工作点附近能满足泰勒展开条件。
三、RLC电路simulink仿真
典型例子
由基尔霍夫定律建立微分方程
带入参数得
令输入为阶跃信号，利用拉式变换与反变换可求得电容两端电压随时间的响应：
建立simulink仿真
