Question

求下列微分方程的解（1）（xy+x^3y)dy-(1+y^2)dx=0 (2)(y^2-6x)y'+2y=0 (3)xdy+ydx=e^xydx

Answer 1

(1)（xy+x^3y)dy-(1+y^2)dx=0 （xy+x^3y)dy=(1+y^2)dx
分离变量整理得：y\(1+y^2)dy=1\x(1+x^2)dx 整理：y\(1+y^2)dy=1\x－x\(1+x^2)dx
两边同时积分得1\2ln(1+y^2)=lnx-1\2ln(1+x^2)+lnc
两边同*2得ln(1+y^2)=lnx^2-ln(1+x^2)+lnc 即(1+y^2)=c x^2\(1+x^2)
(2)(y^2-6x)y'+2y=0
y'=-2y\(y^2-6x) 也可记为dy\dx=2y\(6x-y^2) 则dx\dy=（6x-y^2)\2y 化简得：dx\dy-(3\y)x=-y\2
这个方程可作关于X关于y函数（x是y的函数）,关于x的一阶线性非齐次微分方程,可利用公式（在课本上给y是x的函数的公式为y=e^-∫P(x)dx(∫Q(x)e^∫P(x)dx+C））,可常数学变易法.
公式法P（y）=-(3\y),Q(y)=-y\2,由一阶线性非齐次微分方程的求解公式得
x=e^-∫P(y)dx(∫Q(y)e^∫P(y)dy+C））
所以原方程的通解为x=y^3（1\2y）+c