Question

什么是期望和方差？

Answer 1

1.什么是数学期望？
数学期望亦称期望、期望值等。在概率论和统计学中，一个离散型随机变量的期望值是试验中每一次可能出现的结果的概率乘以其结果的总和。
这是什么意思呢？假如我们来玩一个游戏，一共52张牌，其中有4个A。我们1元钱赌一把，如果你抽中了A，那么我给你10元钱，否则你的1元钱就输给我了。在这个游戏中，抽中的概率是113(452)113(452)，结果是赢10元钱；抽不中概率是12131213，结果是亏1元钱。那么你赢的概率，也就是期望值是−213−213。这样，你玩了很多把之后，一算账，发现平均每把会亏−213 −213元。一般在竞赛中，若X是一个离散型的随机变量，可能值为x1,x2x1,x2……，对应概率为p1,p2p1,p2……，概率和为1，那么期望值E(X)=∑ipixiE(X)=∑ipix

对于数学期望，我们还应该明确一些知识点：

（1）期望的“线性”性质。对于所有满足条件的离散型的随机变量X，Y和常量a，b，有：E(aX+bY)=aE(x)+bE(y)E(aX+bY)=aE(x)+bE(y)；类似的，我们还有E(XY)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)+E(Y)。

（2）全概率公式 假设{Bn∣n=1,2,3,...Bn∣n=1,2,3,...}是一个“概率空间有限或可数无限”的分割，且集合BnBn是一个“可数集合”，则对于任意事件A有：
P(A)=∑nP(A∣Bn)P(Bn)P(A)=∑nP(A∣Bn)P(Bn)
（3）全期望公式 E(Y)=E(E(Y∣X))=∑iP(X=xi)E(Y∣X=xi)

2.方差(variance)：方差是衡量在期望μ=E(X)μ=E(X)(均值)附近震荡程度的量可用下式计算
Var(X)=E(X−μ)2
Var(X)=E(X−μ)2

一个等价的公式是：
Var(X)=E(X2)−E2(X)
Var(X)=E(X2)−E2(X)

方差的性质:
(1) Var(X)≥0Var(X)≥0,Var(c)=0Var(c)=0,指常数没有震荡。
(2) Var(cX)=c2Var(X)Var(cX)=c2Var(X) 此公式提供了改善震荡的一个方法那就是将随机变量取值进行伸缩。
(3) Var(X+c)=Var(X)Var(X+c)=Var(X),对所有随进变量取值进行平移不改变震荡程度。
(4) 独立的随机变量之和的方差等于方差的和(Remark:均值的这个性质不要求随机变量独立)
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

Proof:
Var(X+Y)=E(X2+Y2+2XY)−E2(X)−E2(Y)−2E(X)E(Y)
Var(X+Y)=E(X2+Y2+2XY)−E2(X)−E2(Y)−2E(X)E(Y)
因为X,YX,Y互相独立
E(XY)=E(X)E(Y)
E(XY)=E(X)E(Y)
代入上式便得
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
从证明过程看独立条件必不可少。由于方差是由期望定义的，所以方差的一切性质可由期望导出，可见期望的概念要比方差重要。