Question

一道简单又难解的数学题

Answer 1

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问题描述:

1/3=0.33333……（3循环）

2/3=0.66666……（6循环）

而1/3+2/3=1

但是等量的 0.3333……+0.6666……=0.9999……(9循环)

永远不会等于1，为什么呢？

解析:

这是一道非常著名的问题。我想肯定有人会说不相等。但请相信我和那些说它们相等的同志，他们的的确确是相等的。

证明的方法有很多：

第一种，最简单的：

设x=0.9999999999999……，那么10x=9.***********……，得到

10x-x=9

得x=1

第二种，也很简单的：

设x=0.999999999999……，那么x/3=0.333333333333……=1/3，得

x/3=1/3

x=1

第三种，稍微要绕一点脑筋：

你用竖式计算1除以1（竖式应该会吧，小学学过的），不同的是一开始不要直接商1，而要商0，那么余数是1，添加一个0变成10，然后商9，10-9=1，又得到余数是1，再按照上面的方法进行计算，就会算出来1/1=0.9999999……

第四种，可以用极限来做：

等比数列的求和公式是[a1(1-q^n)]/(1-q)，那么当q<1且n->无穷大的时候，这个式子的极限就是a1/(1-q)。由于循环小数0.aaaaaaaaa……=a/10+a/100+a/1000+a/10000+……，它的每一个加数刚好构成一个无穷的等比数列，而且q=1/10，那么就可以用a1/(1-q)计算0.***********……，此时a1=0.9，q=1/10，很容易就可以得到0.***********……=0.9/(1-1/10)=1

以上就是常见的证明0.***********……=1的方法。方法还有很多种。最后结果都是：0.***********……=1。

另外，我还可以明确地告诉你，以上的推理过程都是比较严密的，不要相信所谓的0.***********……只是约等于1/3，0.***********……<1。至少在我们所使用的数学中，0.***********……=1。

你也可以在百度上查找有关的资料，特别是王朝知道上有过这种争论。

最后，我在明确地告诉你，同时也是告诉所有看过这些话的人，0.999999999999999……=1。

因为0.999999……=3*0.33333……=3*1/3=1

用数列：（学数列时老师就举过这例）

0.99999999999999………=0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+0.000009………

首项0.9，公比为0.1的等比数列的n项求和

无穷等比数列各项和公式S=a1/(1-q)可得

S=0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+………=0.9/(1-0.1)=1