Question

（a+b+c)的平方=3(ab+bc+ac) 证明a=b=c？

Answer 1

即啊²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=3ab+3bc+3ac
a²+b²+c²-ab-bc-ac=0
两边乘2
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方大于等于0,相加等于0,若有一个大于0,则至少有一个小于0,不成立.
所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c,c=a
所以a=b=c,7,
引理：a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
证明：左减右，
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]2≥0，
等号当且仅当a=b=c时取到
原题：
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca
=3a...,2,证明：
（a+b+c)²
=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
=½(2a²+2b²+2c²+4ab+4ac+4bc)
=½[(a²+b²-2ab)+(b²+c²-2bc)+(a²+c²-2ac)+6ab+6ac...,2,（a+b+c)^2=3（ab+bc+ac)
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3ab+3bc+3ac
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
1/2(a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ac)=0
1/2((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)=0
所以,a=b,b=c,c=a
所以, ...,1,