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怎样求微分方程的通解?
2个回答
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求微分方程通解的方法有很多种,如:特征线法,分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言,任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解,就可以得到非齐次方程的通解。
每次都有一个任意常数,等式两边求不定积分:y'=x^2+C1,再对等式两边求不定积分:y=(x^3)/3+C1x+C2。对一个微分方程而言,它的解会包括一些常数,对于n阶微分方程,它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。
扩展资料:
微分方程的约束条件是指其解需符合的条件,依常微分方程及偏微分方程的不同,有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值,若是高阶的微分方程,会加上其各阶导数的值,有这类约束条件的常微分方程。
若是二阶的常微分方程,也可能会指定函数在二个特定点的值,此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值,称为狄利克雷边界条件(第一类边值条件),此外也有指定二个特定点上导数的边界条件,称为诺伊曼边界条件(第二类边值条件)等。
参考资料来源:百度百科-通解
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解:举例子,微分方程为xy"+(x+4)y'+3y=4x+4,假设微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解为y=xʳ,将特解带入方程,有x(xʳ)"+(x+4)(xʳ)'+3xʳ=0,r(r-1)xʳ⁻¹+r(x+4)xʳ⁻¹+3xʳ=0,r(r-1)xʳ⁻¹+4rxʳ⁻¹+rxʳ+3xʳ=0,(r²+3r)+(r+3)x=0,(r+3)(r+x)=0,得:r=-3,则微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的特解为y=x⁻³,再设微分方程的通解为y=x⁻³u,有x(x⁻³u)"+(x+4)(x⁻³u)'+3x⁻³u=0,x(x⁻³u"-3x⁻⁴u'-3x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0,x(x⁻³u"-6x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0,x²u"-6xu'+12u+(x+4)(xu'-3u)+3xu=0,x²u"+(x²-2x)u'=0,u"×eˣ/x²+eˣ(1/x²-2/x³)u'=0,(u'eˣ/x²)'=0,u'eˣ/x²=a(a为任意常数),u'=ax²e⁻ˣ,u=-ax²e⁻ˣ-2axe⁻ˣ-2ae⁻ˣ+c(为任意常数),微分方程xy"+(x+4)y'+3y=0的通解为y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³(c为任意常数);设原微分方程的特解为y=px+q,有p(x+4)+3(px+q)=4x+4,4px+4p+3q=4x+4,有4p=4,4p+3q=4,得:p=1,q=0,微分方程的特解为y=x,通解为y=(-ax⁻¹-2ax⁻²-2ax⁻³)e⁻ˣ+cx⁻³+x
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