Question

如何求微分方程的通解

Answer 1

伯努利方程 y' + P(x)y = Q(x)y^a (a ≠ 1)

令 y^(1-a) = z, 则 y = z^[1/(1-a)],

y' = [1/(1-a)]z^[a/(1-a)]z'

通解为 z = e^(-∫2dx/x) [ ∫-2e^(∫2dx/x)dx + C ]

= (1/x^2) [ ∫-2x^2dx + C ] = (1/x^2) [ (-2/3)x^3 + C ]

= (1/x^2) [ (-2/3)x^3 + C ] = (-2/3)x + C/x^2

即 y^2[(-2/3)x + C/x^2] = 1

求法

求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。

对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。