Question

5.8、利用傅里叶变换求卷积+f(t)=Sa(t)×Sa(2t)。

Answer 1

首先，我们需要确定函数 Sa(t) 和 Sa(2t) 的傅里叶变换，这里采用标准的傅里叶变换公式：
F(w) = ∫f(t)e^(-jwt)dt
f(t) = (1/2π)∫F(w)e^(jwt)dw
其中，f(t) 表示函数在时域上的表达式，F(w) 表示函数在频域上的表达式，j 表示虚数单位。
根据傅里叶变换的线性性质，我们可以先分别求出 Sa(t) 和 Sa(2t) 的傅里叶变换，然后再将它们相乘即可求得卷积+f(t)的傅里叶变换。
首先，Sa(t) 的傅里叶变换为：
F1(w) = ∫Sa(t)e^(-jwt)dt
= ∫(1/t)sin(t/2)e^(-jwt)dt
= (2/π)(w/(w^2+1))
其中，我们使用了三角函数的傅里叶变换公式。
其次，Sa(2t) 的傅里叶变换为：
F2(w) = ∫Sa(2t)e^(-jwt)dt
= (1/2)∫Sa(u)e^(-j(w/2)u)du （令 u=2t）
= (1/2)F1(w/2)
= (2/π)(w/(4+w^2))
最后，将 F1(w) 和 F2(w) 相乘得到卷积+f(t)的傅里叶变换 F(w)：
F(w) = F1(w) × F2(w)
= (8/π)w/((w^2+1)(w^2+4))
根据傅里叶变换的反演公式，我们可以将 F(w) 转换回时域的表达式：
f(t) = (1/2π)∫F(w)e^(jwt)dw
= (2/π)∫w/(w^2+1) × w/(w^2+4) × e^(jwt)dw
这个积分比较复杂，可以采用偏微积分的方法进行求解。最终得到：
f(t) = (1/2)e^(-t/2) × (sin(t) + cos(t))
因此，卷积+f(t)的表达式为：
f(t) = (1/2)e^(-t/2) × (sin(t) + cos(t))