Question

如何求两平面之间的交线？

Answer 1

“求两平面之间的交线,关键是找到2个两个平面的公共点。四棱锥P-ABCD中,ABCD是菱形,做出平面PAD与平面PBC的交线;P为1个公共点,需再找1个公共点即可,延长AD,BC交于E,那么E是第2个公共点,连接PE,则PE为两个平面的交线。当然,做两平面的交线还有其他方法,还有可能用到线面,面面平行的判定以及性质定理等。
方法一（平面束）首先设已知的两平面交线为L,过L的平面束方程为（4x-y+3z-1）+k（x+5y-z+2）=0,然后因为过原点,将坐标（x,y,z）=(0,0,0,)代入平面束方程,求得k=1/2,再代回平面束方程得到一个确定平面9x+3y+5z=0即为所求平面。

方法二（交线与原点的关系）首先设已知的两平面交线为L,L的方向向量由两已知平面的法向量求向量积,即由（4,-1,3）与（1,5,-1）求向量积得向量a（-2,1,3）。

再由两已知平面的方程联立为三元一次方程组（两个方程,三个未知量）,从中取y为任一数,譬如取y=0,代入方程组解出x=-5/7,z=9/7,这是直线上的一个点的坐标。将点（0,0,0）和直线上点（-5/7,0,9/7）联成向量b（-5/7,0,9/7）。

再由向量a、b求向量积c,c即为所求平面的法向量,原点坐标已知,根据点法式即可求得平面方程。