Question

证明1+2的根号3次+4的根号三次是无理数？

Answer 1

在展开 $\sqrt{2^3}$ 和 $\sqrt{4^3}$ 时，应该为：
$$ \sqrt{2^3}=2\sqrt{2}，\quad \sqrt{4^3}=8\sqrt{2} $$
将它们代入原式得：
$$ 1+2\sqrt{2}+4\cdot8\sqrt{2}=\frac{p}{q} $$
移项得：
$$ 64\sqrt{2}=\frac{p-1}{q}-8q $$
因为 $64\sqrt{2}$ 是无理数，所以 $\frac{p-1}{q}-8q$ 必须也是无理数，而无理数减有理数还是无理数的性质与之前的推导相同。因此，也可以得出：$1+\sqrt{23}+\sqrt{43}$ 是无理数。