Question

设z=+f(x+y,+y-z),+f具有一阶连续偏导数,求dz

Answer 1

根据全微分的定义，dz可以表示为
dz = （∂z/∂x）dx + （∂z/∂y）dy
其中，∂z/∂x表示z关于x的偏导数，∂z/∂y表示z关于y的偏导数，dx表示x的微小变化量，dy表示y的微小变化量。
根据题意，有
z = f（x+y， y-z）
所以，
∂z/∂x = （∂f/∂x）（x+y， y-z） + （∂f/∂u）（x+y， y-z）（1， 0）
其中，u表示第二个参数y-z的函数名，使用链式法则求导得到（∂f/∂u）（x+y， y-z）。
同样地，
∂z/∂y = （∂f/∂u）（x+y， y-z）（1， -1） + （∂f/∂v）（x+y， y-z）（0， 1）
其中，v表示第一个参数x+y的函数名，使用链式法则求导得到（∂f/∂v）（x+y， y-z）。
因为题目中已经给出f有一阶连续偏导数，所以偏导数存在且连续，可以进行求导和代入的操作。
将上述表达式代入DZ的表达式中，得到
dz = （∂f/∂x）（x+y， y-z）dx + （∂f/∂u）（x+y， y-z）（1， 0）dx + （∂f/∂u）（x+y， y-z）（1， -1）dy + （∂f/∂v）（x+y， y-z）（0， 1）dy
因此，DZ的
dz = （∂f/∂x + ∂f/∂u）dx + （∂f/∂u - ∂f/∂v - ∂f/∂y）dy
其中，注意到第二项中y出现了，可以将其用z替换，即
∂f/∂y = ∂f/∂u * （-1） + ∂f/∂v * 0 + ∂f/∂z * （-1） = -∂f/∂u - ∂f/∂z
代入上式得到
dz = （∂f/∂x + ∂f/∂u）dx + （-∂f/∂u - ∂f/∂z）dy
至此，求得DZ的表达式。