设函数f(x)在[0,2]连续且可导,且f(2)=∫f(x)dx,上限1下限0,证明在(0,2)上至少存在一点ξ,使得f'(ξ)=0
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应用定积分中值定理：
存在ξ1∈（0，1），使得
∫(0→1)f(x)dx=f(ξ1)(1-0)=f(ξ1)
所以，f(ξ1)=f(2)
再次应用罗尔定理，
存在ξ∈（ξ1，2）
【当然ξ∈（0，2）】
使得：f'(ξ)=0
存在ξ1∈（0，1），使得
∫(0→1)f(x)dx=f(ξ1)(1-0)=f(ξ1)
所以，f(ξ1)=f(2)
再次应用罗尔定理，
存在ξ∈（ξ1，2）
【当然ξ∈（0，2）】
使得：f'(ξ)=0
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