Question

三角形ABC的对边分别为a,b.c且cos2C/1+sin2C=-cosB/sinB 求A

Answer 1

根据余弦定理，设三角形ABC的三条边分别为a,b,c，其中c为对边，则

cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab

cos2C = 1 - 2sin^2C = 2cos^2C - 1

将上述两式代入题干中，则可得：

2cos^2C - 1 / (1 + sin^2C) = -cosB / sinB

化简可得：2sin^2Bcos^2C + sin^2B = cosB

继续代入余弦定理中的cosC式子，可得：

2sin^2B(a^2 + b^2 - c^2)^2 / 4a^2b^2 + sin^2B = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab

将cosC的式子整理得出 c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC

代入上式整理得出：2sin^2B(a^2+b^2-2abcosC)^2/4a^2b^2 + sin^2B = (a^2+b^2-2abcosC)/2ab

化简得：4sin^2B(a^4+b^4+2a^2b^2-4a^3b cosC-4ab^3cosC+4a^2b^2cos^2C) = a^4+b^4+2a^2b^2-4a^3b cosC-4ab^3cosC+4a^2b^2cos^2C

移项后，得到：

(a^4 + b^4 - 2a^2b^2)sin^2B + (a^2 + b^2 - 2abcosC)^2(2cos^2C - 1) = 0

将cosC和c代入求解，则得到三角形ABC中角A的正弦值sinA为：

sinA = 2(cos^2B - cos^2C) / (a^2 + b^2 - c^2)

由于cosB = c^2 + a^2 - b^2 / 2ac，cosC = b^2 + a^2 - c^2 / 2ab

将cosB和cosC代入上式，整理可得：sinA = (b^2 - a^2) / 2ab

因此，角A的正弦值sinA = (b^2 - a^2) / 2ab，而根据三角函数的性质，0 < sinA <= 1，因此可以解出角A的范围。将100个20度的弧度转换为角度后，可以得到20*100 = 2000度，而三角形的内角之和为180度，因此角A的范围为0到180度。

Answer 2

对题中的等式进行化简：
cos(2C)/[2+sin(2C)]
=[cos²C - sin²C]/[sin²C + cos²C + 2sinC * cosC]
=[(cosC+sinC)(cosC-sinC)]/(cosC+sinC)²
=(cosC-sinC)/(cosC+sinC)
那么就有：
(cosC-sinC)/(cosC+sinC) = -cosB/sinB
sinB * (cosC - sinC) = -cosB * (cosC + sinC)
sinBcosC - sinBsinC = -cosBcosC - cosBsinC
移项，得到：
sinBcosC + cosBsinC = -cosBcosC + sinBsinC
sin(B+C) = -(cosBcosC - sinBsinC) = -cos(B+C)
sin(180°-A) = sinA = -cos(180°-A) = cosA
既然在△ABC 内有：
tanA = sinA/cosA = 1
那么，A = 45°