Question

设函数f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=0，若F(x)=x2f(x)，则在(0，1)内至少存在一点ξ，使F (ξ)=0

Answer 1

【答案】：由F(x)=x²f(x)，得F(0)=F(1)=0．根据题设知，F(x)在[0，1]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点c∈(0，1)，使F'租闹(c)=0．又
F'(x)=2xf(x)+x²f'(x)，F'败型差(0)=0
对F'(x)在[0，c]上应用罗尔定理，则至少存在一点ξ，察皮使F"(ξ)=0．