Question

4如图所示,扇形的半径为2,圆心角为45度,求该图形中阴影部分的周长和面积。

Answer 1

周长比较好求，就是半圆的弧+45°弧（1/8个圆）+半圆的直径=2π+2x4π/8+4
=3π+4
面积分两部分考虑。半圆外侧的，是45°扇形-1/2个半圆-直角边为2的等腰直角三角形；
半圆内的部分=1/2个半圆-直角边为2的等腰直角三角形；
两者合计：
=45°扇形-2直角边为2的等腰直角三角形
=4²π/8-2x2x2/2
=2π-4
也可以这么看，将下部的阴影部分对称到半圆的上半部分，就是45°扇形-以半圆直径为斜边的等腰直角三角形。

Answer 2

设半圆的直径为AB(上面的点为A),半圆弧的中点为C,连AC,则弓形AC面积=弓形BC面积。
45°的扇形的半径为4，面积=π*4*4/8=2π，
△ABC的面积=（1/2）*4*2=4，
所以所求的阴影面积=2π-4.
其周长=半径为2的半圆弧+45°扇形弧+半径4
=2π+π+4
=3π+4.